Em uma exposição sobre Bletchley Park, centro britânico de decifração de mensagens durante a Segunda Guerra…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma exposição sobre Bletchley Park, centro britânico de decifração de mensagens durante a Segunda Guerra Mundial, um simulador educativo permite ao visitante configurar uma mensagem de demonstração. É possível escolher 4 ajustes de rotor, 7 posições iniciais e 3 modelos de painel de conexões. No simulador, qualquer escolha de uma etapa pode ser combinada com todas as escolhas das outras etapas. Um visitante afirma que o simulador permite configurar 14 mensagens diferentes, pois somou as opções das três etapas. Considerando as regras descritas, quantas configurações distintas podem ser feitas?
- A) Podem ser feitas 84 configurações distintas, pois cada uma das 4 escolhas de ajuste de rotor pode ser combinada com 7 posições iniciais e 3 modelos de painel: 4 × 7 × 3 = 84.
- B) Podem ser feitas 25 configurações distintas, somando os ajustes ao produto das posições iniciais pelos modelos de painel.
- C) Podem ser feitas 14 configurações distintas, somando as opções disponíveis nas três etapas.
- D) Podem ser feitas 31 configurações distintas, somando os modelos de painel ao produto dos ajustes pelas posições iniciais.
- E) Podem ser feitas 28 configurações distintas, combinando os ajustes de rotor com as posições iniciais.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- A questão pede o número de configurações distintas quando cada escolha de uma etapa pode ser combinada com todas as escolhas das outras etapas. Esse é o princípio multiplicativo da contagem.
- As três etapas são independentes: 4 ajustes de rotor, 7 posições iniciais e 3 modelos de painel de conexões.
- Multiplicando as quantidades: 4 × 7 = 28 e 28 × 3 = 84. Portanto, podem ser feitas 84 configurações distintas.
- O visitante errou ao somar (4 + 7 + 3 = 14), o que contaria apenas escolhas isoladas, e não combinações de uma escolha de cada etapa.
- A alternativa B está errada, pois soma os ajustes ao produto das posições e dos painéis, o que não corresponde à combinação exigida pelo enunciado.
- A alternativa C está errada, pois repete a soma incorreta feita pelo visitante.
- A alternativa D está errada, pois mistura soma e produto de forma arbitrária, sem base na independência das etapas.
- A alternativa E está errada, pois ignora a terceira etapa (os modelos de painel) e não combina todas as escolhas.
- Conclusão: o gabarito oficial A está correto, com 84 configurações distintas.
💡 Dica: Como qualquer escolha de uma etapa pode ser combinada com as demais, multiplique as quantidades.
Alternativa por alternativa
As escolhas são feitas em etapas independentes, e toda opção de uma etapa pode combinar-se com todas as opções das demais. Portanto, aplica-se o princípio multiplicativo, em vez de somar as quantidades.
O aluno acredita que os ajustes de rotor são somados às combinações das outras etapas, em vez de multiplicá-los. Ele não aplica o princípio multiplicativo às três etapas independentes.
O aluno repete a soma das opções das três etapas, como fez o visitante, achando que cada opção isolada forma uma configuração. Ele não percebe que as etapas devem ser combinadas entre si.
Por que engana: Somar as opções das etapas em vez de multiplicá-las.
O aluno aplica operações misturadas, somando os modelos de painel ao produto dos outros dois fatores, sem justificativa. Ele não reconhece que todas as etapas devem ser combinadas por multiplicação.
O aluno combina apenas os ajustes de rotor com as posições iniciais e esquece a etapa dos modelos de painel. Ele lê mal o enunciado, que pede combinações com todas as etapas.
Raio-X da questão
Princípio multiplicativo da contagem.
Distinguir soma de o
Multiplicação de números naturais. · Identificação de etapas combináveis.
Contagem de escolhas em etapas independentes.
Somar as opções das etapas em vez de multiplicá-las.
Ciência e tecnologia; história da criptografia.
Simulador educativo
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