Em um centro de distribuição, dois robôs precisam se deslocar entre pontos de corredores perpendiculares. No…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um centro de distribuição, dois robôs precisam se deslocar entre pontos de corredores perpendiculares. No primeiro trajeto, as diferenças de posição nos dois corredores são 7 m e 24 m. No segundo, são 9 m e 12 m. Para cada robô, o percurso direto entre os pontos corresponde à hipotenusa de um triângulo retângulo, cujos catetos são essas diferenças de posição. Considerando os dados, qual comparação entre os comprimentos dos percursos diretos dos dois robôs está correta?
- A) O primeiro percurso mede 24 m e o segundo mede 12 m; portanto, o percurso do primeiro robô é 12 m mais longo.
- B) O primeiro percurso mede 625 m e o segundo mede 225 m; portanto, o percurso do primeiro robô é 400 m mais longo.
- C) O primeiro percurso mede 25 m e o segundo mede 15 m; portanto, o percurso do primeiro robô é 10 m mais longo.
- D) O primeiro percurso mede 14 m e o segundo mede 18 m; portanto, o percurso do segundo robô é 4 m mais longo.
- E) O primeiro percurso mede 15,5 m e o segundo mede 10,5 m; portanto, o percurso do primeiro robô é 5 m mais longo.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique o teorema necessário. Como cada percurso direto é a hipotenusa de um triângulo retângulo, use o teorema de Pitágoras: hipotenusa ao quadrado = cateto1^2 + cateto2^2, e o comprimento é a raiz quadrada desse valor.
- Calcule o primeiro percurso. Catetos 7 m e 24 m: 7^2 = 49 e 24^2 = 576. Soma = 625. Raiz quadrada de 625 = 25. Logo, o primeiro percurso mede 25 m.
- Calcule o segundo percurso. Catetos 9 m e 12 m: 9^2 = 81 e 12^2 = 144. Soma = 225. Raiz quadrada de 225 = 15. Logo, o segundo percurso mede 15 m.
- Compare os dois. 25 - 15 = 10. O percurso do primeiro robô é 10 m mais longo, o que corresponde exatamente à alternativa C.
- Verifique as demais alternativas. A alternativa A confunde os catetos com a hipotenusa, o que está errado porque a hipotenusa é sempre maior que cada cateto e não igual a eles. A alternativa B calcula corretamente a soma dos quadrados, mas esquece de extrair a raiz quadrada, então seus valores 625 e 225 não são comprimentos. A alternativa D inventa valores (14 e 18) que não correspondem a nenhum cálculo com o teorema e inverte a comparação. A alternativa E usa a média aritmética dos catetos (15,5 e 10,5), que não é a hipotenusa. Conclusão: a alternativa correta é a C, em concordância com o gabarito oficial.
💡 Dica: Calcule a hipotenusa de cada triângulo e depois subtraia os comprimentos.
Alternativa por alternativa
O aluno considera que o percurso direto é igual a um dos catetos, ignorando que a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto e deve ser calculada pelo teorema de Pitágoras. Assim, usa 24 m e 12 m como se fossem as distâncias pedidas.
Por que engana: Somar os catetos ou comparar as somas dos quadrados sem extrair a raiz quadrada.
O aluno calcula corretamente a soma dos quadrados dos catetos (625 e 225), mas esquece de extrair a raiz quadrada, tratando a soma dos quadrados como se fosse o comprimento da hipotenusa.
Pelo Teorema de Pitágoras, os comprimentos são raiz quadrada de 7² + 24² = 25 m e raiz quadrada de 9² + 12² = 15 m. A diferença é 25 - 15 = 10 m.
O aluno parece dobrar o menor cateto de cada trajeto (2 x 7 = 14 e 2 x 9 = 18) em vez de aplicar Pitágoras, o que não tem fundamento geométrico. Como resultado, inverte a comparação, afirmando que o segundo robô percorre mais.
O aluno calcula a média aritmética dos catetos ((7+24)/2 = 15,5 e (9+12)/2 = 10,5) como se fosse o comprimento da hipotenusa, confundindo uma média com o teorema de Pitágoras.
Raio-X da questão
Teorema de Pitágoras.
Aplicar Pitágoras e
Quadrados e raízes quadradas de números inteiros. · Identificação dos catetos e da hipotenusa em triângulo retângulo.
Cálculo da hipotenusa e comparação de medidas.
Somar os catetos ou comparar as somas dos quadrados sem extrair a raiz quadrada.
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