A figura representa um quadrado ABCD de lado 12 cm, com os vértices em ordem ao redor do contorno. O ponto P…

Questão

A figura representa um quadrado ABCD de lado 12 cm, com os vértices em ordem ao redor do contorno. O ponto P percorre o lado AB e o ponto Q percorre o lado BC, mantendo-se AP = BQ = x, com 0 <= x <= 12. O gráfico da área do triângulo DPQ em função de x é uma parábola voltada para cima, com vértice em (6, 54), e cruza a reta horizontal correspondente a 60 cm² em dois pontos do intervalo permitido. Para quais valores de x a área do triângulo DPQ é, no máximo, 60 cm²?

1. A) Entre 2 cm e 10 cm, inclusive.
2. B) Entre 6 - 2 raiz quadrada de 2 cm e 6 + 2 raiz quadrada de 2 cm, inclusive.
3. C) x <= 6 - 2 raiz quadrada de 3 cm ou x >= 6 + 2 raiz quadrada de 3 cm.
4. D) Entre 6 - 2 raiz quadrada de 3 cm e 6 + 2 raiz quadrada de 3 cm, sem incluir os extremos.
5. E) Entre 6 - 2 raiz quadrada de 3 cm e 6 + 2 raiz quadrada de 3 cm, inclusive.

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Coloque o quadrado em um plano: A(0,0), B(12,0), C(12,12) e D(0,12). Como AP = x, o ponto P é (x,0). Como BQ = x, o ponto Q é (12,x). Passo 2: A área do triângulo DPQ pode ser obtida pelo produto vetorial dos vetores DP = (x,-12) e DQ = (12,x-12). O determinante vale x(x-12) + 144 = x^2 - 12x + 144, então a área é (x^2 - 12x + 144)/2. Passo 3: Confira com o enunciado: em x = 6, a área é (36 - 72 + 144)/2 = 54, que é o vértice (6, 54) informado. Em x = 0, a área é 72, que corresponde ao triângulo DAB, o que também faz sentido. Passo 4: Impor área menor ou igual a 60 leva a (x^2 - 12x + 144)/2 <= 60, ou seja, x^2 - 12x + 24 <= 0. Passo 5: As raízes de x^2 - 12x + 24 = 0 são x = (12 ± raiz de 48)/2 = 6 ± 2 raiz de 3, aproximadamente 2,54 e 9,46, ambas dentro do intervalo [0, 12]. Como a parábola tem concavidade para cima, a expressão fica menor ou igual a zero entre as raízes, com os extremos incluídos porque a condição é 'no máximo'. Passo 6: Portanto, a resposta é o intervalo fechado entre 6 - 2 raiz de 3 e 6 + 2 raiz de 3, que é a alternativa E. O gabarito oficial está correto. Passo 7: Por que as outras estão erradas: A usa valores 2 e 10, que não são as raízes (em x = 2 a área é 62, acima de 60); B troca raiz de 48 por 2 raiz de 2; C inverte a desigualdade, descrevendo a região em que a área é maior ou igual a 60; D exclui os extremos, mas 'no máximo' inclui a igualdade.

💡 Dica: Use o vértice para escrever a função e resolva f(x) <= 60, respeitando 0 <= x <= 12.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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