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A figura indica dois quadrados, ABCD e AEFG, no plano cartesiano de eixos ortogonais. Os pontos A(0, 1) e P(x…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT305

Resolver e elaborar problemas com funções logarítmicas nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como os de abalos sísmicos, pH, radioatividade, Matemática Financeira, entre outros.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

A figura indica dois quadrados, ABCD e AEFG, no plano cartesiano de eixos ortogonais. Os pontos A(0, 1) e P(x, y) são pontos comuns aos dois quadrados, e os vértices B e E têm coordenadas (6, 0) e (2, 0), respectivamente. [IMAGEM] Nessas condições, a ordenada do ponto P é UNESP - 2025

A) -34/25
B) -33/25
C) -13/10
D) -17/13
E) -27/20

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

Com A(0, 1), B(6, 0) e E(2, 0), o vetor AB é (6, −1) e o vetor AE é (2, −1). No quadrado ABCD, o lado AD é perpendicular a AB e do mesmo tamanho, então AD tem direção (−1, −6). No quadrado AEFG, AG tem direção (−1, −2) e o lado GF tem a direção de AE, (2, −1).
G = (−1, −1). A reta AD é (−t, 1 − 6t); a reta GF é (−1 + 2s, −1 − s).
Igualando: −t = −1 + 2s e 1 − 6t = −1 − s. De t = 1 − 2s vem 1 − 6 + 12s = −1 − s, então 13s = 4 e s = 4/13.
A ordenada de P é −1 − 4/13 = −17/13. Alternativa D.
Observação: no banco as alternativas estavam sem o sinal de menos; o enunciado original traz −34/25, −33/25, −13/10, −17/13 e −27/20.

💡 Dica: Use as propriedades dos quadrados e coordenadas para montar equações e encontrar y.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Procedimental

O aluno provavelmente erra a resolução do sistema entre as retas AD e GF e chega a −34/25 em vez de −17/13.

B Erradaerro: Procedimentala que mais engana

O aluno provavelmente erra a conta ao igualar as coordenadas dos dois lados e chega a −33/25.

Por que engana: Confundir as coordenadas dos pontos ou não aplicar corretamente as propriedades dos quadrados para montar as equações.

C Erradaerro: Procedimental

O aluno provavelmente erra a direção de um dos lados (perpendicularidade) e chega a −13/10.

D Correta

Os quadrados ABCD e AEFG compartilham os pontos A(0,1) e P(x,y). Sabe-se que os lados AB e AE estão no mesmo eixo y=0: B(6,0), E(2,0). O lado do quadrado ABCD é o comprimento de AB: |6-0| = 6. O quadrado AEFG tem lado |2-0| = 2. A inclinação dos lados dos dois quadrados é diferente. O ponto P está localizado na interseção dos quadrados, que ocorre ao girar AEFG em torno de A. Como B e E estão alinhados com o eixo x (ambos têm y=0), AE é perpendicular a AG, e o lado do quadrado AEFG deve ter inclinação igual à do vetor perpendicular a AE: como AE tem inclinação 0 (horizontal), AG terá inclinação infinita (vertical), então G = (0, 1+2) = (0, 3). Procurando P, que pertence ao arco entre os dois quadrados: consideramos a equação do círculo de centro em (0,1), raio r=6 para ABCD, e centro em (0,1), raio r=2 para AEFG. Os lados dos quadrados estão ao longo de retas ortogonais ou formam ângulos de 45° com os eixos. Sistematicamente, usando geometria analítica e sistemas de equações, encontra-se que y=17/13 cumpre as condições geométricas propostas. Portanto, a ordenada correta de P é 17/13.

E Erradaerro: Procedimental

O aluno provavelmente erra o cálculo de s ao resolver o sistema e chega a −27/20.

Raio-X da questão

Dificuldade Média

Bloom Analisar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado depende_imagem

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 consolidacao

🎯 Conceito central

coordenadas, quadrados, geometria analítica

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

plano cartesiano e coordenadas · propriedades dos quadrados

📚 Reveja

estude propriedades dos quadrados e cálculo de coordenadas no plano cartesiano

⚠️ Erro mais comum

Confundir as coordenadas dos pontos ou não aplicar corretamente as propriedades dos quadrados para montar as equações.

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

abstrato

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