O retângulo ABCD, representado na figura, tem lados de comprimento AB = 3 e BC = 4. O ponto P pertence ao lado…

Questão

O retângulo ABCD, representado na figura, tem lados de comprimento AB = 3 e BC = 4. O ponto P pertence ao lado BC e BP = 1. Os pontos R, S e T pertencem aos lados AB, CD e AD, respectivamente. O segmento RS é paralelo a AD e intercepta DP no ponto Q. O segmento TQ é paralelo a AB. Sendo x o comprimento de AR, o maior valor da soma das áreas do retângulo ARQT, do triângulo CQP e do triângulo DQS, para x variando no intervalo aberto ]0,3[ é [FUVEST 2017 - Questão 84] FUVEST - 2017

1. A) 61/8
2. B) 33/4
3. C) 17/2
4. D) 35/4
5. E) 73/8

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Coloque o retângulo em coordenadas: A(0,0), B(3,0), C(3,4) e D(0,4). Como BP = 1 e P está em BC, P(3,1). Como AR = x, R(x,0). RS é paralelo a AD, logo S(x,4) sobre CD.
2. Encontre Q. A reta DP passa por D(0,4) e P(3,1), com inclinação -1, então a equação é y = 4 - x. Q está em RS (abscissa x), logo Q(x, 4-x).
3. TQ é paralelo a AB, então T(0,4-x) está em AD e o retângulo ARQT tem lados x e 4-x. Sua área é x(4-x) = 4x - x^2.
4. No triângulo CQP, o lado CP vale 3 (vertical, em x = 3) e a altura é a distância horizontal de Q até essa reta, que é 3 - x. Logo a área é (1/2)·3·(3-x) = (9 - 3x)/2.
5. No triângulo DQS, a base DS vale x (horizontal, em y = 4) e a altura é a distância vertical de Q até y = 4, que é x. Logo a área é x^2/2.
6. Some as áreas: f(x) = 4x - x^2 + (9 - 3x)/2 + x^2/2 = -x^2/2 + 5x/2 + 9/2.
7. f é uma parábola com concavidade para baixo, cujo vértice está em x = (5/2)/1 = 5/2 = 2,5, que pertence ao intervalo aberto ]0,3[. Então f(2,5) = -(25/4)/2 + 25/4 + 9/2 = -25/8 + 50/8 + 36/8 = 61/8.
8. Portanto a alternativa correta é A, 61/8. As outras estão erradas porque cada uma corresponde a um cálculo ou leitura incorreta da área ou do vértice, como indicado no diagnóstico.

💡 Dica: Use propriedades de paralelismo e relações métricas para expressar as áreas em função de x e otimize a soma.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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