Em um triângulo equilátero de perímetro igual a 6 cm, inscreve-se um retângulo de modo que um de seus lados…

Questão

Em um triângulo equilátero de perímetro igual a 6 cm, inscreve-se um retângulo de modo que um de seus lados fique sobre um dos lados do triângulo. Observe a figura: Admitindo que o retângulo possui a maior área possível, determine, em centímetros, as medidas x e y de seus lados. (UERJ 2016)

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

3l = 6 => l = 2 cm, altura h = (2v3)/2 = v3 cm Triângulos ABD e EBF semelhantes (y/v3) = (1 - x/2)/1 => y = v3 - (v3/2) x Área S = x × y => S = - (v3/2) x² + v3 x S_máx -> x = - (v3/2) / (-v3/2) => x = 1 e y = v3 - (v3/2) = v3/2 x = 1, y = v3/2

Explicação

Expressar a área do retângulo em função de uma variável, usar propriedades do triângulo equilátero para relacionar as dimensões, derivar a função área e encontrar o ponto crítico que maximize a área.

Raio-X da questão

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