Considere o triângulo ABC no plano cartesiano com vértices A = (0,0), B = (3,4) e C = (8,0). O retângulo MNPQ…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Considere o triângulo ABC no plano cartesiano com vértices A = (0,0), B = (3,4) e C = (8,0). O retângulo MNPQ tem os vértices M e N sobre o eixo das abcissas, o vértice Q sobre o lado AB e o vértice P sobre o lado BC. Dentre todos os retângulos construídos desse modo, o que tem área máxima é aquele em que o ponto P é [FUVEST 2014 - Questão 43] FUVEST - 2014
- A) (4, 16/5)
- B) (17/4, 3)
- C) (5, 12/5)
- D) (11/2, 2)
- E) (6, 8/5)
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Sejam M e N sobre o eixo x e Q sobre AB, P sobre BC, com altura h do retângulo (Q e P têm ordenada h). Passo 2: A reta AB passa por (0,0) e (3,4), logo y = 4x/3. Para y = h, x_Q = 3h/4. Passo 3: A reta BC passa por (3,4) e (8,0), com inclinação -4/5, logo y = -4(x-8)/5. Para y = h, x_P = 8 - 5h/4. Passo 4: A largura do retângulo é x_P - x_Q = 8 - 5h/4 - 3h/4 = 8 - 2h. Passo 5: A área é S(h) = h(8 - 2h) = 8h - 2h^2, uma parábola com concavidade para baixo. O máximo ocorre no vértice h = -8/(2·(-2)) = 2. Passo 6: Com h = 2, x_P = 8 - 5·2/4 = 11/2, logo P = (11/2, 2). Passo 7: Esta é a alternativa D, que coincide com o gabarito oficial. Verificação das outras: A) (4, 16/5) está sobre BC mas tem altura 16/5, que não é a que maximiza a área; B) (17/4, 3) está sobre BC com altura 3, que não é o máximo; C) (5, 12/5) está sobre BC com altura 12/5, que também não maximiza; E) (6, 8/5) está sobre BC com altura 8/5, que não corresponde ao ponto de área máxima.
💡 Dica: Use as equações dos lados do triângulo para expressar a área do retângulo e maximize-a.
Alternativa por alternativa
O aluno identificou corretamente que P deve estar sobre BC, mas escolheu o ponto de BC com abscissa 4 sem relacionar a área à altura do retângulo, ou seja, não montou nem maximizou a função da área.
O aluno escolheu a altura 3 de forma arbitrária, sem expressar a área em função da altura h e sem determinar o vértice da parábola resultante.
O aluno obteve um ponto de BC, mas tomou a altura 12/5 sem derivar a área em função de h; provavelmente usou uma condição geométrica que não corresponde à maximização da área.
Por que engana: O aluno pode confundir as coordenadas do ponto P, escolhendo um ponto que não maximiza a área do retângulo.
CORRETA. Este ponto maximiza a área do retângulo.
O aluno interpretou mal a relação entre os vértices, supondo que o ponto P está na posição de abscissa 6 (talvez por um critério de proporção) em vez de otimizar a área do retângulo.
Raio-X da questão
máximo de área, geometria analítica
avaliacao
máximo de área · geometria analítica
Revisar cálculo de área e otimização em geometria analítica.
O aluno pode confundir as coordenadas do ponto P, escolhendo um ponto que não maximiza a área do retângulo.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cotidiano
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