Uma oficina de cerâmica produz cones para moldar peças. Em um modelo, a geratriz mede 10 cm e o raio da base…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma oficina de cerâmica produz cones para moldar peças. Em um modelo, a geratriz mede 10 cm e o raio da base mede 6 cm. Para uma nova versão, a oficina mantém a mesma geratriz e aumenta o raio da base em 20%. Em quanto, aproximadamente, varia o volume do cone na nova versão em relação ao modelo inicial?
- A) O volume diminui aproximadamente 0,1%, tomando a geratriz como altura do cone inicial.
- B) O volume aumenta aproximadamente 24,9%, pois a razão entre o novo volume e o inicial é 9raiz de 301/125, aproximadamente 1,249.
- C) O volume aumenta aproximadamente 0,8%, usando a diferença entre a geratriz e o raio como altura do cone.
- D) O volume aumenta aproximadamente 15,2%, considerando que a altura diminui na mesma proporção em que o raio aumenta.
- E) O volume aumenta aproximadamente 73%, supondo que todas as dimensões lineares do cone aumentem na mesma proporção.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- No modelo inicial, a geratriz é 10 cm e o raio é 6 cm. Pelo teorema de Pitágoras, a altura é h = raiz de (10^2 - 6^2) = raiz de 64 = 8 cm. O volume é V1 = (1/3) x pi x 6^2 x 8 = 96 pi cm^3.
- Na nova versão, a geratriz continua 10 cm e o raio aumenta 20%, passando a 7,2 cm (ou 36/5 cm). A nova altura é h2 = raiz de (100 - 51,84) = raiz de 48,16 = (2 raiz de 301)/5 cm, aproximadamente 6,94 cm. A altura diminui, porque a geratriz é fixa.
- O novo volume é V2 = (1/3) x pi x 51,84 x (2 raiz de 301)/5. A razão entre os volumes é V2/V1 = (51,84 x 2 raiz de 301)/(5 x 3 x 96)... simplificando, V2/V1 = 9 raiz de 301 / 125, que é aproximadamente 1,249.
- Logo o volume aumenta cerca de 24,9%, o que confirma a alternativa B, que é o gabarito oficial. Não há divergência entre a minha resolução e o gabarito.
- Por que as outras estão erradas: A supõe que o volume diminui, mas o raio cresce e a altura cai pouco, então o volume aumenta. C usa g - r = 4 como altura, o que não corresponde à altura do cone. D supõe que a altura cai na mesma proporção do raio, o que contraria a relação pitagórica com geratriz fixa. E supõe que todas as dimensões crescem 20%, mas a geratriz não muda.
💡 Dica: Calcule as duas alturas usando h² = g² - r² e compare os volumes.
Alternativa por alternativa
O aluno considera a geratriz como altura fixa do cone e erra a comparação entre os volumes, concluindo que o volume diminui, quando na verdade o raio maior aumenta o volume.
Com geratriz fixa, a altura inicial é 8 cm e a nova altura é raiz de (100 - 7,2²) = raiz de 48,16 cm. Como o volume do cone é pir²h/3, a razão entre os volumes é (7,2/6)² × (raiz de 48,16/8) = 9raiz de 301/125, aproximadamente 1,249; portanto, o aumento é de cerca de 24,9%.
O aluno toma a diferença entre a geratriz e o raio (4 cm) como altura do cone, uma relação que não existe na geometria do cone circular reto.
O aluno supõe que a altura diminui na mesma proporção em que o raio aumenta, ignorando que, com geratriz fixa, a altura é dada pelo teorema de Pitágoras e não por proporção direta.
Por que engana: Tratar a geratriz como altura ou supor que a altura permanece fixa ao aumentar o raio.
O aluno acredita que o volume cresce na mesma proporção linear de 20% (ou que todas as dimensões crescem 20%), esquecendo que a geratriz não muda e que o volume depende do quadrado do raio e da altura.
Raio-X da questão
Volume do cone com geratriz constante.
Relacionar raio e al
Teorema de Pitágoras aplicado ao cone reto. · Fórmula do volume do cone e porcentagem.
Variação percentual de volumes e relação entre raio, altura e geratriz.
Tratar a geratriz como altura ou supor que a altura permanece fixa ao aumentar o raio.
Contexto fictício de
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