Questões BNCC EM13MAT504

— Se a gente inclinar o funil, ele cabe mais detergente? — perguntou um operador de uma linha de envase.

No projeto de uma embalagem, foram testados dois funis internos impressos em plástico. O Funil 1 tem formato de cone reto, com base circular de raio 5 cm e altura (medida perpendicular ao plano da base) de 12 cm. O Funil 2 é um cone oblíquo: a ponta está deslocada lateralmente, mas a base continua sendo um círculo de raio 5 cm, e a altura perpendicular ao plano da base também é 12 cm.

Um técnico alegou que o Funil 2 tem maior capacidade por ser “mais inclinado”. Outro defendeu que, ao considerar cortes por planos paralelos à base, as seções dos dois funis, na mesma distância da base, têm áreas iguais e, por isso, os volumes devem coincidir.

Compare os dois argumentos do texto e conclua o volume que representa corretamente a capacidade de cada funil, em cm3.

Durante testes de controle de qualidade em uma fábrica de luminárias, os engenheiros avaliaram o volume de um lote de moldes metálicos em forma de cone. Para isso, utilizaram um recipiente cilíndrico com a mesma altura e o mesmo raio de base dos cones. Com base no princípio de Cavalieri, verificaram que exatamente três cones enchem completamente o cilindro, cuja capacidade é de 12 litros.

A partir do texto-base, calcule o volume de um cone produzido pela fábrica.

Estudantes montam recipientes para comparar volumes em um desafio de geometria. Um dos recipientes é um cilindro de raio 10 cm e altura 12 cm. O outro é um prisma reto cuja base é um triângulo retângulo com catetos de 8 cm e 15 cm. Para que os volumes sejam iguais, os participantes devem ajustar a altura do prisma de modo que, aplicando o princípio de Cavalieri, as áreas de cada fatia paralela às bases coincidam para ambos os sólidos.

Com base no texto-base, determine a altura do prisma triangular para que seu volume seja igual ao do cilindro descrito.

Por que um cilindro e um prisma reto com base igual e altura igual comportam o mesmo volume de água quando enchidos? Em uma demonstração, a professora de matemática encheu um recipiente cilíndrico e um prisma reto que têm a mesma área de base e altura. Observou-se que ambos receberam exatamente a mesma quantidade de água. A experiência ilustra o princípio de Cavalieri e fundamenta o cálculo do volume de cilindros a partir da área da base e da altura.

Identifique a expressão que representa corretamente o volume do cilindro descrito, em função do raio r da base e da altura h.

Trabalho na manutenção de um reservatório de água que combina formas geométricas. A parte inferior é um cilindro de raio interno 3 m e altura 10 m. Acima dele, há um cone invertido de mesmo raio e altura 5 m. Antes da limpeza, os engenheiros solicitaram que eu apurasse o volume total de água que o reservatório pode comportar.

Considere o reservatório descrito no texto-base e determine o volume total de água que ele comporta, em função de pi.

Dados ilustrativos: Em uma oficina de velas artesanais, há dois moldes com base retangular de 8 cm por 6 cm e altura de 15 cm. Um molde é um prisma reto e o outro é uma pirâmide de mesma base e mesma altura. Para calcular a quantidade de cera necessária, os alunos investigam o volume de cada molde.

Analise o texto-base e determine o volume de cera, em cm^3, que preenche completamente o molde em forma de pirâmide.

— Professor, por que a pirâmide parece armazenar menos material que o prisma com a mesma base e altura? — questionou Ana durante a aula de modelagem geométrica. Para lançar hipótese, o professor levou três moldes: um prisma de base triangular e um conjunto de três pirâmides triangulares, todos com a mesma base e altura h. Ao preencher o prisma com areia e transferir o conteúdo para as pirâmides, constatou-se que a areia preenchia exatamente uma das três pirâmides. Em seguida, repetiu o experimento com moldes de base quadrada, obtendo a mesma proporção. Os alunos, então, investigaram o padrão que relaciona o volume desses sólidos.

Determine a expressão que representa o volume V de uma pirâmide em função da área da base A e da altura h.

Agricultores acompanham a instalação de dois tanques para armazenamento de água. O primeiro tanque é um cilindro de raio 2 m e altura 5 m. O segundo tem a mesma altura e seção transversal triangular equilátera, com lado ajustado para que, em qualquer altura, a área do triângulo seja igual à área da seção circular do cilindro.

Analise o texto-base e determine o volume de cada tanque em m3.