Em um levantamento de uma área de preservação, dois marcos A e B delimitam uma base reta, e um terceiro ponto…

Questão

Em um levantamento de uma área de preservação, dois marcos A e B delimitam uma base reta, e um terceiro ponto P é localizado por cabos de comprimento fixo, cada um ligado a um dos marcos. Os dois cabos medem 10 m. Em uma primeira configuração, a distância entre A e B é 12 m; depois, os marcos são reposicionados para que essa distância passe a 16 m, sem alterar os comprimentos dos cabos. Considerando que, em cada configuração, A, B e P formam um triângulo não degenerado, qual é a consequência da mudança da distância entre os marcos para a área delimitada por A, B e P?

1. A) A área permanece igual a 96 m² nas duas configurações, pois se multiplica a base pela altura correspondente, sem dividir o resultado por dois.
2. B) A área diminui de 24 m² para 16 m², pois a altura é obtida subtraindo da medida do cabo a metade da base.
3. C) A área permanece igual a 48 m²: com base de 12 m, a altura é 8 m; com base de 16 m, a altura é 6 m, compensando o aumento da base.
4. D) A área aumenta de 60 m² para 80 m², considerando que cada cabo corresponde à altura do triângulo nas duas configurações.
5. E) A área aumenta de 48 m² para 64 m², pois a altura de 8 m permanece igual quando os marcos são afastados.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Os dois cabos de 10 m ligam P a A e a B, então o triângulo APB é isósceles com AP = BP = 10 m. A altura relativa à base AB é o segmento perpendicular de P até o meio de AB, que divide a base ao meio.
2. Na primeira configuração, a base é 12 m e a metade dela é 6 m. Pelo teorema de Pitágoras, a altura h satisfaz h^2 + 6^2 = 10^2, logo h^2 = 64 e h = 8 m. A área é 12 x 8 / 2 = 48 m².
3. Na segunda configuração, a base é 16 m e a metade dela é 8 m. Então h^2 + 8^2 = 10^2, logo h^2 = 36 e h = 6 m. A área é 16 x 6 / 2 = 48 m².
4. A área permanece 48 m² nas duas configurações. O aumento da base é exatamente compensado pela redução da altura, porque os cabos têm comprimento fixo e a altura depende da distância entre os marcos. O gabarito oficial está correto.
5. Por que as outras estão erradas: A ignora a divisão por 2 da fórmula da área do triângulo; B usa uma relação inventada para a altura; D toma o cabo como se fosse a altura, o que só vale quando o cabo é perpendicular à base; E supõe que a altura permanece 8 m, quando na verdade ela muda com a base.

💡 Dica: Trace a altura a partir de P: ela divide a base ao meio; use Pitágoras com o cabo como hipotenusa.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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