Em um projeto de recuperação de uma encosta, a seção transversal de uma área triangular é delimitada por um…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um projeto de recuperação de uma encosta, a seção transversal de uma área triangular é delimitada por um triângulo. Uma faixa de contenção, paralela à base do triângulo, delimita uma região triangular menor junto ao vértice superior. Inicialmente, a distância do vértice à faixa é de 30 m, e a região menor tem um quarto da área do triângulo completo. Para ampliar a região delimitada junto ao vértice, a faixa será reposicionada, mantendo-se paralela à base, de modo que essa região passe a ter o dobro da área inicial. Determine a distância do vértice à nova posição da faixa e quanto ela deve ser deslocada para baixo em relação à posição inicial. Justifique a relação geométrica usada.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
A nova distância do vértice à faixa é 30raiz de 2 m, e a faixa deve ser deslocada 30(raiz de 2 - 1) m para baixo, aproximadamente 12,4 m. Como as faixas são paralelas à base, os triângulos delimitados são semelhantes; a razão entre suas áreas é o quadrado da razão entre as distâncias correspondentes ao vértice. Ao dobrar a área, a distância é multiplicada por raiz de 2.
Explicação
A semelhança dos triângulos implica que, se a razão entre as alturas é k, a razão entre as áreas é k². Como a área da região menor dobra, k² = 2, logo k = raiz de 2. Assim, a nova distância é 30raiz de 2 m e o deslocamento é 30raiz de 2 - 30 = 30(raiz de 2 - 1) m, aproximadamente 12,4 m.
Raio-X da questão
Áreas de triângulos semelhantes variam com o quadrado da razão de semelhança.
Relacionar áreas de
Critério de semelhança por paralelismo e ângulos correspondentes. · Razões e proporções envolvendo áreas e comprimentos.
Semelhança de triângulos e escala de áreas.
Dobrar a área e, por isso, dobrar a distância do vértice à faixa.
Sustentabilidade e prevenção de riscos ambientais.
Recuperação de encos
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