Em um mapa cartesiano usado para planejar a instalação de cabos em uma área de monitoramento ambiental, cada…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um mapa cartesiano usado para planejar a instalação de cabos em uma área de monitoramento ambiental, cada unidade do plano representa 20 metros. Um cabo liga os pontos A(-2, 1) e B(4, 9). Para contornar uma área de preservação, a extremidade B é deslocada para B'(1, 5), enquanto A permanece fixa. Com base nas coordenadas e na escala do mapa, qual é o efeito do deslocamento de B sobre o comprimento do cabo que liga A a essa extremidade?
- A) O comprimento diminui de 2.000 metros para 500 metros, uma redução de 1.500 metros.
- B) O comprimento diminui de 200 metros para aproximadamente 82,46 metros, uma redução de aproximadamente 117,54 metros.
- C) O comprimento diminui de 100 metros para 50 metros, uma redução de 50 metros.
- D) O comprimento diminui de 280 metros para 140 metros, uma redução de 140 metros.
- E) O comprimento diminui de 200 metros para 100 metros, uma redução de 100 metros.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Calcule o comprimento original do cabo AB pela distância entre A(-2, 1) e B(4, 9). A diferença em x é 4 - (-2) = 6 e a diferença em y é 9 - 1 = 8. Pelo teorema de Pitágoras, a distância é raiz de (6^2 + 8^2) = raiz de 100 = 10 unidades. Como cada unidade representa 20 metros, o comprimento original é 10 x 20 = 200 metros.
- Calcule o novo comprimento do cabo AB' entre A(-2, 1) e B'(1, 5). A diferença em x é 1 - (-2) = 3 e a diferença em y é 5 - 1 = 4. A distância é raiz de (3^2 + 4^2) = raiz de 25 = 5 unidades, ou seja, 5 x 20 = 100 metros.
- Calcule a variação. O comprimento passa de 200 m para 100 m, uma redução de 100 metros. Isso corresponde à alternativa E, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas. A: usa os quadrados das distâncias (100 e 25 unidades) em vez das distâncias, multiplicando por 20. B: os valores de 82,46 m correspondem a raiz de 17 unidades, resultado de erro no cálculo das diferenças de coordenadas. C: usa 10 metros por unidade em vez de 20 metros. D: calcula a soma dos módulos das diferenças (distância de Manhattan, 6 + 8 = 14 e 3 + 4 = 7) em vez da distância euclidiana.
- Conclusão. O deslocamento de B para B' reduz o comprimento do cabo de 200 m para 100 m, uma redução de 100 metros.
💡 Dica: Calcule as distâncias AB e AB' pelo teorema de Pitágoras e multiplique cada uma por 20.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente usou o quadrado da distância (soma dos quadrados das diferenças, 100 e 25) e depois multiplicou pela escala, em vez de extrair a raiz quadrada antes de converter.
O aluno errou o cálculo das diferenças de coordenadas ou dos quadrados, chegando a raiz de 17 unidades (cerca de 4,12 unidades, 82,46 m) em vez de 5 unidades para AB'.
O aluno aplicou a escala incorretamente, considerando 10 metros por unidade em vez de 20 metros, o que dobra o erro na conversão para metros.
Por que engana: Calcular apenas a distância entre os pontos sem aplicar a escala de 20 metros por unidade.
O aluno calculou a soma dos módulos das diferenças de coordenadas (distância entre pontos em trajeto retangular), e não a distância em linha reta entre os pontos.
Inicialmente, a distância entre A e B é a raiz quadrada de 6^2 + 8^2, ou seja, 10 unidades, equivalentes a 200 metros. Após o deslocamento, a distância entre A e B' é a raiz quadrada de 3^2 + 4^2, ou seja, 5 unidades, equivalentes a 100 metros. Portanto, a redução é de 100 metros.
Raio-X da questão
Distância entre dois pontos no plano cartesiano com escala.
Calcular e comparar
Diferenças entre coordenadas e cálculo de distância no plano. · Multiplicação de comprimentos por um fator de escala.
Teorema de Pitágoras e conversão de unidades pela escala.
Calcular apenas a distância entre os pontos sem aplicar a escala de 20 metros por unidade.
Meio ambiente e monitoramento ambiental.
Planejamento de cabo
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