Em levantamentos topográficos usados para monitorar áreas de risco, a posição de um ponto inacessível pode ser…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em levantamentos topográficos usados para monitorar áreas de risco, a posição de um ponto inacessível pode ser estimada por triangulação. Uma equipe estabelece duas estações de medição, A e B, separadas por 1,6 km, e observa um ponto de instabilidade, P. Os ângulos entre a linha AB e as direções AP e BP medem, respectivamente, 42 graus em A e 71 graus em B. Para planejar o alcance dos equipamentos, a equipe considera operacional uma estação situada a, no máximo, 1,65 km de P. Com base nas medições, determine se a estação A está dentro do alcance operacional e qual é, aproximadamente, a distância entre A e P, arredondada ao centésimo de quilômetro.
- A) A distância de A a P é aproximadamente 1,55 km; portanto, A está dentro do alcance operacional.
- B) A distância de A a P é aproximadamente 2,26 km; portanto, A está fora do alcance operacional.
- C) A distância de A a P é aproximadamente 1,56 km; portanto, A está dentro do alcance operacional.
- D) A distância de A a P é aproximadamente 1,64 km; portanto, A está dentro do alcance operacional de 1,65 km.
- E) A distância de A a P é aproximadamente 1,16 km; portanto, A está dentro do alcance operacional.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Identifique os dados. AB = 1,6 km, ângulo em A = 42 graus, ângulo em B = 71 graus. A distância pedida é AP, que fica oposta ao ângulo em B.
- Calcule o ângulo em P. Como a soma dos ângulos de um triângulo é 180 graus, o ângulo em P = 180 - 42 - 71 = 67 graus.
- Aplique a lei dos senos: AP / sen(B) = AB / sen(P). Logo, AP = AB x sen(71) / sen(67) = 1,6 x 0,9455 / 0,9205 ≈ 1,643 km, que arredondado ao centésimo fica 1,64 km.
- Compare com o alcance operacional. Como 1,64 km é menor ou igual a 1,65 km, a estação A está dentro do alcance operacional.
- Verifique a distância BP, só para conferência. BP = AB x sen(42) / sen(67) = 1,6 x 0,6691 / 0,9205 ≈ 1,16 km. Esse valor é a distância de B a P, não de A a P, o que explica a alternativa E.
- Conclusão. Eu cheguei à alternativa D, que coincide com o gabarito oficial. A alternativa A está errada porque 1,55 km não corresponde ao cálculo correto. A alternativa B está errada porque 2,26 km resulta de inverter a razão dos senos e também não está no cálculo correto. A alternativa C está errada porque 1,56 km é um valor próximo, mas incorreto para AP. A alternativa E está errada porque 1,16 km é a distância BP, não AP.
💡 Dica: O terceiro ângulo mede 67°; use a lei dos senos para obter AP.
Alternativa por alternativa
O aluno calculou AP com erro numérico ou arredondamento grosseiro dos senos, obtendo 1,55 km, e concluiu corretamente que está dentro do alcance, mas com valor de distância errado.
O aluno inverteu a razão da lei dos senos, usando sen(71)/sen(42) em vez de sen(71)/sen(67), e obteve 2,26 km, o que o levaria a concluir erradamente que A está fora do alcance.
O aluno aplicou a lei dos senos com o procedimento certo, mas errou em uma etapa de cálculo ou aproximação do seno, chegando a 1,56 km e mantendo a conclusão de que está dentro do alcance.
O terceiro ângulo do triângulo é 67 graus. Pela lei dos senos, AP = 1,6 sen(71 graus)/sen(67 graus), aproximadamente 1,64 km. Como essa distância é menor que 1,65 km, a estação está dentro do alcance indicado.
O aluno calculou a distância de B a P, que é 1,16 km, e a tomou como se fosse a distância de A a P, confundindo os vértices e o ângulo a que cada lado se opõe.
Por que engana: Usar o ângulo de B como oposto a AP ou comparar o valor sem respeitar o arredondamento.
Raio-X da questão
Lei dos senos
Calcular uma distânc
Soma dos ângulos internos de um triângulo · Razões trigonométricas e lei dos senos
Resolução de triângulos oblíquos
Usar o ângulo de B como oposto a AP ou comparar o valor sem respeitar o arredondamento.
Prevenção de riscos e monitoramento ambiental
Estimativa topográfi
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