MatemáticaFUVESTBNCC EM13MAT308Difícil⏱ 3 a 5 minu

Uma oficina de design fabrica dois modelos de invólucros cônicos sem base, usando chapas finas. Os dois…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT308

Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Uma oficina de design fabrica dois modelos de invólucros cônicos sem base, usando chapas finas. Os dois invólucros devem ter o mesmo volume interno. No modelo A, o raio da base é r e a altura é 2r. No modelo B, o raio da base é 2r. Para estimar o material, a oficina compara as áreas laterais dos invólucros. Qual é a razão entre a área lateral do modelo B e a área lateral do modelo A?

A) A razão é 4 vezes raiz quadrada de 2/5; portanto, o modelo B exige uma área lateral maior.
B) A razão é raiz quadrada de 17/20; portanto, o modelo B exige uma área lateral menor.
C) A razão é 4; portanto, o modelo B exige uma área lateral maior.
D) A razão é 2 vezes raiz quadrada de 17/5; portanto, o modelo B exige uma área lateral maior.
E) A razão é raiz quadrada de 17/5; portanto, o modelo B exige uma área lateral maior.

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

Calcule o volume do modelo A. Como é um cone, V = (1/3) x pi x r^2 x h. Com h = 2r, temos V_A = (2/3) x pi x r^3.
Determine a altura do modelo B pela igualdade de volumes. Com R = 2r, (1/3) x pi x (2r)^2 x h = (2/3) x pi x r^3, o que dá 4 x h = 2r, ou seja, h = r/2.
Calcule a geratriz (g = raiz quadrada de R^2 + h^2) de cada modelo. No modelo A, g_A = raiz quadrada de (r^2 + 4r^2) = r x raiz quadrada de 5. No modelo B, g_B = raiz quadrada de (4r^2 + r^2/4) = (r/2) x raiz quadrada de 17.
Calcule a área lateral, AL = pi x R x g. Para o modelo A, AL_A = pi x r x r x raiz quadrada de 5 = pi x r^2 x raiz quadrada de 5. Para o modelo B, AL_B = pi x 2r x (r/2) x raiz quadrada de 17 = pi x r^2 x raiz quadrada de 17.
Calcule a razão AL_B / AL_A = raiz quadrada de 17 / raiz quadrada de 5 = raiz quadrada de 17/5. Como 17/5 é maior que 1, a área do modelo B é maior, o que confirma a alternativa E e o gabarito oficial.
Por que as outras estão erradas. A: a razão 4 x raiz quadrada de 2/5 não corresponde à área lateral correta. B: a razão raiz quadrada de 17/20 está errada e a conclusão de área menor contradiz o cálculo. C: a razão 4 ignora a mudança de altura e a geratriz. D: a razão 2 x raiz quadrada de 17/5 aparece se a área lateral for calculada com o diâmetro no lugar do raio.

💡 Dica: Iguale os volumes para obter a altura do modelo B e use a geratriz em cada área lateral.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Procedimental

Calculou a razão de forma errada, provavelmente combinando fatores de raio e geratriz sem seguir a fórmula da área lateral. O resultado 4 x raiz quadrada de 2/5 não representa a razão entre as áreas.

B Erradaerro: Procedimentala que mais engana

Errou o cálculo da geratriz ou da razão, chegando a raiz quadrada de 17/20, e concluiu que o modelo B tem área menor, o que contradiz até a própria razão encontrada.

Por que engana: Comparar os raios diretamente e concluir a razão das áreas sem considerar as alturas e geratrizes.

C Erradaerro: Conceitual

Supôs que a área lateral cresce com o quadrado do raio (fator 2^2 = 4), ignorando que a altura do modelo B diminui para r/2 e que a geratriz muda.

D Erradaerro: Procedimental

Usou o diâmetro 2r no lugar do raio na fórmula da área lateral (pi x D x g em vez de pi x R x g), o que duplica o resultado.

E Correta

Igualando os volumes, (1/3) pi r^2 (2r) = (1/3) pi (2r)^2 h, obtém-se h = r/2 para o modelo B. As geratrizes são, respectivamente, raiz quadrada de 5 vezes r e raiz quadrada de 17 vezes r/2. Como a área lateral de um cone é pi vezes o raio vezes a geratriz, a razão entre as áreas é raiz quadrada de 17/5, maior que 1.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom analisar

Leitura Baixo

Discriminação Medio

Peso pedagógico Médio

Autonomia do enunciado Autônomo; fornece os

Cobertura da habilidade Mobiliza r

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ Problema contextuali🧩 Questão intermediári

🎯 Conceito central

Área lateral de cone após impor igualdade de volumes.

📌 Objetivo

Relacionar volume e

🧱 Pré-requisitos

Fórmulas de volume e área lateral do cone. · Teorema de Pitágoras para calcular a geratriz.

📚 Reveja

Volume e área lateral de cones.

⚠️ Erro mais comum

Comparar os raios diretamente e concluir a razão das áreas sem considerar as alturas e geratrizes.

🏫 Contexto

Fabricação de invólu

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