Em uma oficina de instrumentos musicais, uma corda esticada entre dois pontos fixos vibra em seu modo…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Analisar e representar, com ou sem o uso de dispositivos e de aplicativos digitais específicos, as transformações e conservações em sistemas que envolvam quantidade de matéria, de energia e de movimento para realizar previsões sobre seus comportamentos em situações cotidianas e em processos produtivos que priorizem o desenvolvimento sustentável, o uso consciente dos recursos naturais e a preservação da vida em todas as suas formas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma oficina de instrumentos musicais, uma corda esticada entre dois pontos fixos vibra em seu modo fundamental com frequência de 220 Hz. Para ajustar o instrumento, o comprimento vibrante da corda é reduzido em 20%, enquanto a tensão aplicada e a densidade linear da corda são, cada uma, duplicadas. Considere que a corda continua uniforme e que a frequência fundamental de uma corda fixa nas duas extremidades é dada por f = (1/2L) vezes a raiz quadrada de T/mu, em que L é o comprimento, T é a tensão e mu é a densidade linear. Após o ajuste, qual será a frequência fundamental da corda?
- A) 176 Hz
- B) 275 Hz
- C) 264 Hz
- D) 311,1 Hz
- E) 220 Hz
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Escreva a relação da frequência fundamental de uma corda fixa nas extremidades: f = (1/2L) vezes a raiz quadrada de (T/mu). Na situação inicial, a frequência é f0 = 220 Hz, com comprimento L, tensão T e densidade linear mu.
- Após o ajuste, o comprimento passa a ser L' = 0,8 L (redução de 20%), a tensão passa a ser T' = 2T e a densidade linear passa a ser mu' = 2 mu.
- Substitua na fórmula: f' = (1/(2 x 0,8 L)) vezes a raiz quadrada de (2T/2mu). A razão 2T/2mu simplifica para T/mu, então a raiz quadrada permanece igual à da situação inicial.
- Compare com a situação inicial: f' = (1/0,8) x (1/2L) vezes a raiz quadrada de (T/mu) = (1/0,8) x f0 = 1,25 x 220 = 275 Hz.
- Conclusão: a frequência fundamental sobe para 275 Hz, o que corresponde à alternativa B, de acordo com o gabarito. Por que as outras estão erradas: A (176 Hz) trata a frequência como diretamente proporcional ao comprimento; C (264 Hz) multiplica por 1,2 em vez de dividir por 0,8; D (311,1 Hz) aplica apenas o efeito da tensão e ignora a densidade; E (220 Hz) supõe que as variações se anulam.
💡 Dica: Use a razão entre as frequências; a densidade linear duplicada cancela o efeito da tensão duplicada dentro da raiz.
Alternativa por alternativa
O aluno acredita que a frequência é diretamente proporcional ao comprimento, por isso multiplica 220 por 0,8. Na verdade a frequência é inversamente proporcional ao comprimento, então encurtar a corda aumenta a frequência.
A frequência é inversamente proporcional a L e proporcional à raiz quadrada de T/mu. Como T e mu são duplicadas simultaneamente, essa razão não muda; ao reduzir L para 80% do valor inicial, a frequência é multiplicada por 1/0,8 = 1,25. Assim, 220 Hz vezes 1,25 resulta em 275 Hz.
O aluno percebe que a frequência deve aumentar, mas calcula 220 x 1,2, tratando a redução de 20% como um acréscimo de 20%. O correto seria dividir por 0,8, que equivale a multiplicar por 1,25.
O aluno aplica corretamente o fator de comprimento, mas considera só o efeito da tensão (raiz de 2) e esquece que a densidade linear também dobra, o que anula esse fator. O resultado seria 220 x raiz de 2, que é aproximadamente 311,1 Hz.
O aluno imagina que as três mudanças se compensam e que a frequência permanece a mesma. Não percebe que a redução do comprimento altera a frequência e que a tensão e a densidade só se cancelam entre si na razão T/mu.
Por que engana: Aplicar os fatores de tensão e densidade separadamente, sem notar que seus efeitos na razão T/μ se cancelam.
Raio-X da questão
Frequência fundamental de uma corda fixa nas extremidades.
Calcular a variação
Manipulação de razões e porcentagens. · Dependência de grandezas por raiz quadrada.
Relações de proporcionalidade em ondas estacionárias.
Aplicar os fatores de tensão e densidade separadamente, sem notar que seus efeitos na razão T/μ se cancelam.
Oficina de instrumen
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