Em um reservatório, o nível da água era de 18 cm no instante inicial. Enquanto uma válvula permaneceu…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um reservatório, o nível da água era de 18 cm no instante inicial. Enquanto uma válvula permaneceu totalmente aberta, o nível caiu 2 cm por minuto: aos 4 minutos estava em 10 cm e aos 8 minutos, em 2 cm. Nesse instante, a válvula foi parcialmente fechada; a partir daí, o nível passou a cair 0,5 cm por minuto. A equipe representa o nível da água por uma função do tempo, em minutos. Considerando que a mudança na válvula altera a taxa de queda do nível, qual modelo por partes representa essa situação e em que instante, contado desde o início, o nível chega a 0 cm?
- A) Para 0 <= t <= 8, h(t) = 18 - 2t; para t > 8, h(t) = 2 - 2(t - 8). O nível chega a 0 cm aos 9 minutos.
- B) Para 0 <= t <= 8, h(t) = 18 - 2t; para t > 8, h(t) = 2 - 0,5(t - 8). O nível chega a 0 cm aos 12 minutos.
- C) Para 0 <= t <= 8, h(t) = 18 - 2t; para t > 8, h(t) = 2 - 0,5t. O nível chega a 0 cm aos 4 minutos.
- D) Para 0 <= t <= 8, h(t) = 18 - 2t; depois, h(t) = 18 - 0,5t. O nível chega a 0 cm aos 36 minutos.
- E) Para 0 <= t <= 8, h(t) = 18 - 2t; para t > 8, h(t) = -0,5(t - 8). O nível chega a 0 cm aos 8 minutos.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Na primeira fase, a válvula está totalmente aberta e o nível cai 2 cm por minuto a partir de 18 cm. Logo, h(t) = 18 - 2t para 0 <= t <= 8. Conferindo: em t = 4, h = 10 cm; em t = 8, h = 2 cm, como informa o enunciado. Passo 2: No instante t = 8 o nível é 2 cm, e esse é o ponto de partida da segunda fase. A partir daí a queda é de 0,5 cm por minuto, então, para t > 8, o nível é 2 - 0,5(t - 8), pois a queda é medida a partir de t = 8 e não a partir de t = 0. Passo 3: Para achar quando o nível chega a 0, resolva 2 - 0,5(t - 8) = 0. Isso dá 0,5(t - 8) = 2, logo t - 8 = 4 e t = 12 minutos. Passo 4: Verificação: de t = 8 a t = 12 são 4 minutos, com queda de 0,5 cm por minuto, o que corresponde a 2 cm, exatamente o nível em t = 8. Passo 5: Por que as outras estão erradas: A usa a taxa de 2 cm por minuto após t = 8, mas a válvula foi parcialmente fechada e a taxa mudou; C escreve 2 - 0,5t, que daria nível -2 cm em t = 8, contrariando o nível de 2 cm; D usa 18 - 0,5t, que não parte do nível de 2 cm atingido em t = 8; E usa -0,5(t - 8), que dá nível 0 já em t = 8, ignorando os 2 cm medidos naquele instante. Conclusão: o modelo correto é a alternativa B, com nível zero aos 12 minutos. O gabarito oficial está correto.
💡 Dica: Use h(8)=2 como valor inicial do segundo trecho e aplique a nova taxa de queda de 0,5 cm por minuto.
Alternativa por alternativa
O aluno mantém a taxa de 2 cm por minuto na segunda fase, ignorando que a válvula foi parcialmente fechada e a queda passou a ser de 0,5 cm por minuto.
Por que engana: Usar o tempo total no segundo trecho sem descontar os 8 minutos já transcorridos.
Até 8 minutos, a função decresce 2 cm por minuto e chega a 2 cm. Depois, com a válvula parcialmente fechada, o nível cai 0,5 cm por minuto; são necessários mais 4 minutos para chegar a 0 cm, totalizando 12 minutos.
O aluno escreve a segunda fase como 2 - 0,5t, esquecendo que a queda começa em t = 8, e por isso o modelo daria nível negativo já no início da fase.
O aluno toma 0,5 como nova taxa de uma função linear que parte de 18 cm, sem perceber que a segunda fase começa com o nível já reduzido para 2 cm em t = 8.
O aluno escreve -0,5(t - 8), o que faz o nível valer 0 já em t = 8, ignorando que o nível naquele instante era de 2 cm.
Raio-X da questão
Função definida por partes com mudança de taxa.
Modelar uma mudança
Função afim e taxa de variação. · Substituição de valores e resolução de equação do primeiro grau.
Continuidade e interpretação de coeficientes em função afim.
Usar o tempo total no segundo trecho sem descontar os 8 minutos já transcorridos.
Uso responsável da água.
Variação do nível de
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