Em um estudo de aproveitamento de calor geotérmico, uma instalação idealizada usa uma sequência de máquinas…

Questão

Em um estudo de aproveitamento de calor geotérmico, uma instalação idealizada usa uma sequência de máquinas reversíveis de Carnot para retirar energia de uma corrente quente que esfria gradualmente. A corrente tem capacidade térmica constante de 2,0 kJ/K e sua temperatura diminui de 600 K para 400 K. O reservatório frio permanece a 300 K. Em cada etapa, uma quantidade infinitesimal de calor dQ é transferida quando a corrente está à temperatura T; para a máquina reversível, o trabalho infinitesimal máximo é dW = (1 - 300/T)dQ, e a corrente libera dQ = -C dT. Determine o trabalho máximo total extraído durante o resfriamento, calculando-o ao longo da variação de temperatura, e compare-o com o valor que seria estimado incorretamente se todo o calor liberado fosse tratado como recebido a 600 K. Apresente as relações usadas e explique por que os resultados diferem.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Com C = 2,0 kJ/K e dQ = -C dT, o trabalho máximo é W = integral de 400 K a 600 K de C(1 - 300/T)dT = C[(600 - 400) - 300 ln(600/400)]. Assim, W = 2,0[200 - 300 ln(1,5)] kJ, aproximadamente 156 kJ. O calor total liberado é Q = C(600 - 400) = 400 kJ. Se todo esse calor fosse tratado como recebido a 600 K, o rendimento de Carnot usado seria 1 - 300/600 = 0,50, levando à estimativa W = 200 kJ. Essa estimativa supera o trabalho máximo correto em aproximadamente 44 kJ porque, à medida que a fonte esfria, o limite instantâneo de Carnot diminui; portanto, nem todo o calor é recebido sob o rendimento inicial de 50%.

Explicação

A temperatura da fonte quente varia durante o processo, então o rendimento de Carnot também varia. A integração soma o trabalho máximo de cada etapa; usar apenas a temperatura inicial superestima o rendimento aplicado ao calor recebido nas etapas posteriores.

Raio-X da questão

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