Uma cooperativa de reciclagem testa um equipamento que lança pequenas amostras de material para avaliar seu…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma cooperativa de reciclagem testa um equipamento que lança pequenas amostras de material para avaliar seu alcance. A altura h, em metros, de uma amostra t segundos após o lançamento é modelada por h(t) = -5t^2 + 20t + 1, para 0 <= t <= 4. A equipe quer saber em que instante a amostra volta à altura inicial de 1 metro. Com base no modelo, determine o instante positivo em que a amostra retorna à altura de 1 metro.
- A) A amostra retorna à altura de 1 metro após 4 segundos.
- B) A amostra retorna à altura de 1 metro após 1 segundo.
- C) A amostra retorna à altura de 1 metro após 2 segundos.
- D) A amostra retorna à altura de 1 metro após 3 segundos.
- E) A amostra retorna à altura de 1 metro após 5 segundos.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Queremos o instante t em que h(t) = 1 metro, ou seja, -5t^2 + 20t + 1 = 1. Passo 2: Subtraindo 1 dos dois lados, obtemos -5t^2 + 20t = 0. Passo 3: Fatorando, t(-5t + 20) = 0, o que dá t = 0 ou -5t + 20 = 0, logo t = 4. Passo 4: O enunciado pede o instante positivo, e t = 0 é apenas o lançamento, então a resposta é t = 4 segundos. Passo 5: Confira no domínio dado (0 <= t <= 4): t = 4 pertence ao intervalo, o que confirma a solução. Passo 6: A alternativa A (4 segundos) está correta e coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: B indica 1 segundo, mas h(1) = 16 metros, não 1 metro; C indica 2 segundos, que é o instante da altura máxima (vértice da parábola), não do retorno à altura inicial; D indica 3 segundos, valor que não satisfaz a equação, pois h(3) = 16 metros; E indica 5 segundos, instante fora do intervalo de validade do modelo (0 <= t <= 4).
💡 Dica: Iguale h(t) a 1, simplifique e escolha a solução positiva diferente de zero.
Alternativa por alternativa
Igualando h(t) a 1, obtém-se -5t^2 + 20t = 0, ou -5t(t - 4) = 0. As soluções são t = 0 e t = 4; o instante positivo de retorno é 4 segundos.
O aluno provavelmente substituiu t por 1 de forma intuitiva, achando que a amostra volta logo após o primeiro segundo, sem resolver a equação h(t) = 1.
O aluno confundiu o instante de altura máxima, que é o vértice da parábola em t = -20/(2·(-5)) = 2, com o instante de retorno à altura de 1 metro.
Por que engana: Igualar a altura a zero em vez de igualá-la à altura inicial de 1 metro.
O aluno provavelmente cometeu erro de cálculo ao resolver -5t + 20 = 0 ou ao simplificar a equação, chegando a t = 3 em vez de t = 4.
O aluno ignorou a restrição do domínio 0 <= t <= 4 e aceitou um valor fora do intervalo de validade do modelo, extrapolando a parábola.
Raio-X da questão
Raízes de uma função quadrática em contexto.
Identificar quando u
Substituição e manipulação algébrica de expressões. · Resolução de equações quadráticas simples.
Resolução de equações do segundo grau por fatoração.
Igualar a altura a zero em vez de igualá-la à altura inicial de 1 metro.
Reciclagem e sustentabilidade.
Equipamento de lança
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