Uma cooperativa que organiza oficinas de cerâmica estima sua margem diária, em centenas de reais, pela função…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma cooperativa que organiza oficinas de cerâmica estima sua margem diária, em centenas de reais, pela função M(x) = -2x^2 + 18x - 28, em que x é o número de turmas oferecidas. O modelo é válido para números inteiros de turmas entre 0 e 9. Com base no modelo, para quais quantidades inteiras de turmas a margem diária é positiva?
- A) De 3 a 6 turmas, inclusive.
- B) De 2 a 7 turmas, inclusive.
- C) De 0 a 9 turmas, inclusive.
- D) Nenhuma quantidade inteira de turmas.
- E) De 1 a 8 turmas, inclusive.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- A margem é positiva quando M(x) > 0, ou seja, quando -2x^2 + 18x - 28 > 0. Passo 2: Multiplicando a desigualdade por -1 (o sinal da desigualdade inverte), obtemos 2x^2 - 18x + 28 < 0. Passo 3: Dividindo por 2, fica x^2 - 9x + 14 < 0. Passo 4: Fatorando, (x - 2)(x - 7) < 0, pois 2 e 7 são raízes com soma 9 e produto 14. Passo 5: O produto de dois fatores é negativo somente quando x está entre as raízes, logo 2 < x < 7. Passo 6: Os inteiros nesse intervalo são 3, 4, 5 e 6, e a margem é positiva nesses casos. Conferência: M(3) = 8, M(4) = 12, M(5) = 12 e M(6) = 8, todos positivos. Passo 7: Em x = 2 e x = 7 a margem vale zero, o que não é positivo, então não podem ser incluídos. Resultado: a alternativa A está correta e coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: a alternativa B inclui 2 e 7, onde a margem é zero e não positiva; a alternativa C inclui extremos como 0 e 9, onde a margem é negativa; a alternativa D afirma que nenhuma quantidade é positiva, o que contraria os valores 8 e 12 calculados; a alternativa E inclui 1 e 8, onde a margem vale -12.
💡 Dica: Determine as raízes e verifique em qual intervalo a parábola é positiva.
Alternativa por alternativa
A margem é positiva quando -2x^2 + 18x - 28 > 0. Fatorando, obtém-se -2(x - 2)(x - 7) > 0, o que ocorre para 2 < x < 7. Como x é inteiro, são possíveis 3, 4, 5 ou 6 turmas.
O aluno resolve corretamente as raízes 2 e 7, mas considera que a margem zero também é positiva, ou seja, troca o sinal de maior estrito pelo de maior ou igual.
Por que engana: Incluir as raízes, nas quais a margem é zero, como valores de margem positiva.
O aluno supõe que, como o modelo é válido de 0 a 9, toda a faixa fornecida gera lucro, sem calcular o sinal da função.
O aluno vê o coeficiente negativo de x^2 e conclui que a parábola fica sempre abaixo do eixo, esquecendo que ela tem uma região positiva entre as raízes.
O aluno percebe que a região positiva fica no meio dos valores, mas estima mal os limites e arredonda o intervalo para 1 a 8, sem verificar que M(1) e M(8) são negativos.
Raio-X da questão
Sinal de função quadrática.
Identificar para qua
Resolução de equações do 2º grau. · Leitura do sinal de uma parábola a partir de suas raízes.
Raízes e concavidade da parábola.
Incluir as raízes, nas quais a margem é zero, como valores de margem positiva.
Estimativa de margem
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