Uma cooperativa que vende mudas analisa o lucro P, em centenas de reais, obtido em função de x, número de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma cooperativa que vende mudas analisa o lucro P, em centenas de reais, obtido em função de x, número de lotes vendidos durante uma campanha. O modelo é P(x) = -x^2 + 10x - 16, para 0 <= x <= 10. No gráfico descrito por esse modelo, a parábola tem concavidade voltada para baixo e cruza o eixo horizontal nos pontos correspondentes aos valores de x em que o lucro é zero. Considerando o modelo e a descrição do gráfico, para quais quantidades de lotes vendidos a cooperativa obtém lucro positivo?
- A) Quando vende uma quantidade superior à segunda raiz da função.
- B) Quando vende uma quantidade inferior à primeira raiz ou superior à segunda raiz.
- C) Quando vende uma quantidade inferior à primeira raiz da função.
- D) Quando vende uma quantidade superior a 2 e inferior a 8 lotes.
- E) Quando vende uma quantidade igual a uma das raízes da função.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- O lucro é positivo quando P(x) > 0, ou seja, quando -x^2 + 10x - 16 > 0. Passo 2: Encontramos as raízes igualando a zero: -x^2 + 10x - 16 = 0, o que equivale a x^2 - 10x + 16 = 0. Passo 3: Pela fórmula de Bhaskara, delta = 100 - 64 = 36, e x = (10 ± 6)/2, logo x = 2 ou x = 8. Passo 4: Como o coeficiente de x^2 é -1 (negativo), a parábola tem concavidade voltada para baixo, então P(x) é positivo entre as raízes e negativo fora delas. Passo 5: Portanto, o lucro é positivo para 2 < x < 8, que é a alternativa D. Passo 6: A alternativa A está errada, pois para x maior que 8 o lucro é negativo. Passo 7: A alternativa B está errada, pois as duas regiões indicadas são de lucro negativo. Passo 8: A alternativa C está errada, pois para x menor que 2 o lucro é negativo. Passo 9: A alternativa E está errada, pois nas raízes o lucro é zero, não positivo. Passo 10: O gabarito D está correto e coincide com a resolução feita de forma independente.
💡 Dica: Fatore P(x), identifique as raízes e observe em qual intervalo a parábola côncava para baixo fica acima do eixo x.
Alternativa por alternativa
O aluno acha que, após a segunda raiz, o lucro volta a ser positivo, esquecendo que a parábola voltada para baixo fica negativa fora do intervalo entre as raízes.
Por que engana: Achar que o lucro é positivo fora do intervalo entre as raízes, como ocorre em uma parábola com concavidade para cima.
O aluno combina as duas regiões externas às raízes, supondo que ambas dão lucro positivo, quando na verdade a concavidade para baixo torna essas regiões negativas.
O aluno identifica corretamente as raízes, mas assume que valores menores que a primeira raiz dão lucro positivo, sem verificar o sinal da função nessa região.
A expressão pode ser fatorada como P(x) = -(x - 2)(x - 8), portanto o lucro é zero em x = 2 e x = 8. Como a parábola tem concavidade voltada para baixo, seu valor é positivo entre as raízes.
O aluno confunde lucro zero com lucro positivo, supondo que, nos pontos onde a parábola cruza o eixo, a cooperativa já tem lucro.
Raio-X da questão
Sinal de função quadrática entre as raízes.
fixacao
Fatoração de trinômios do segundo grau. · Interpretação das raízes e da concavidade de uma parábola.
Fatoração de trinômio quadrático e análise gráfica do sinal.
Achar que o lucro é positivo fora do intervalo entre as raízes, como ocorre em uma parábola com concavidade para cima.
Educação financeira e empreendedorismo.
cotidiano
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