Para uma oficina de organização, uma turma recebeu cartões com as quantidades 32, 34, 37, 41 e 43. A…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Para uma oficina de organização, uma turma recebeu cartões com as quantidades 32, 34, 37, 41 e 43. A professora explicou que uma quantidade pode formar arranjos retangulares quando os cartões são distribuídos em linhas iguais, sem sobras. Qual quantidade de cartões pode formar exatamente três arranjos retangulares diferentes, sem sobras, considerando que trocar linhas por colunas não cria um novo arranjo?
- A) A quantidade é 34 cartões.
- B) A quantidade é 43 cartões.
- C) A quantidade é 32 cartões.
- D) A quantidade é 37 cartões.
- E) A quantidade é 41 cartões.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Um arranjo retangular com N cartões corresponde a uma forma de escrever N como produto de dois números inteiros positivos, linhas x colunas. Como trocar linhas por colunas não cria novo arranjo, basta contar os pares de divisores (a, b) com a menor ou igual a b e a x b = N. Vamos considerar, como é usual, que uma única linha (1 x N) também é um arranjo retangular.
- Para 32, os divisores são 1, 2, 4, 8, 16 e 32. Os pares são 1 x 32, 2 x 16 e 4 x 8, ou seja, exatamente três arranjos diferentes. Logo 32 é a resposta.
- Para 34, os divisores são 1, 2, 17 e 34. Os pares são 1 x 34 e 2 x 17, portanto apenas dois arranjos. A alternativa A está errada porque não atinge três arranjos.
- Para 43, 37 e 41, que são números primos, os únicos divisores são 1 e o próprio número, havendo um único arranjo (1 x N). Assim, as alternativas B, D e E estão erradas, pois cada uma tem apenas um arranjo.
- Conferindo com o gabarito oficial (C), a resposta coincide com a minha conclusão, sem divergência.
💡 Dica: contar todos os pares de divisores distintos e desconsiderar permutacoes
Alternativa por alternativa
O aluno listou os divisores de 34 (1, 2, 17 e 34) e contou cada um deles como um arranjo separado, sem agrupar os pares que se invertem ao trocar linhas por colunas, ou seja, contou 4 em vez de 2.
Por que engana: contar troca de linhas e colunas como arranjos diferentes
O aluno acredita que, por 43 ser um número com dois dígitos e ímpar, ele teria muitas formas de organização; na verdade 43 é primo e possui apenas o arranjo 1 x 43.
O número 32 pode ser organizado em 1 x 32, 2 x 16 e 4 x 8. Portanto, possui exatamente três pares de fatores e é um número composto.
O aluno supõe que um número ímpar não consegue formar arranjos retangulares além da fila única, mas não percebe que 37 é primo e, por isso, só admite o arranjo 1 x 37, sem chegar a três arranjos.
O aluno tenta dividir 41 por números pequenos, não encontra divisão exata e conclui que há várias possibilidades; na verdade 41 é primo e possui apenas o arranjo 1 x 41.
Raio-X da questão
divisores e fatores de numeros naturais
reconhecer e contar
noção basica de multiplicação · noção de numeros primos e compostos
contagem de divisores e fatoracao
contar troca de linhas e colunas como arranjos diferentes
persistencia
classroom ou provas
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