Uma cooperativa produz dois tipos de cestas para uma campanha de distribuição de alimentos. Seja x a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma cooperativa produz dois tipos de cestas para uma campanha de distribuição de alimentos. Seja x a quantidade do primeiro tipo e y a quantidade do segundo tipo. Para atender às restrições de estoque, o planejamento foi representado pelas relações 2x + 4y = 100 e 3x + 6y = 140, nas quais os coeficientes indicam o consumo dos recursos disponíveis por cada tipo de cesta. Considerando as duas relações lineares do planejamento, como esse sistema deve ser classificado quanto ao número de soluções?
- A) O sistema possui uma única solução.
- B) O sistema possui duas soluções.
- C) O sistema possui infinitas soluções.
- D) O sistema possui uma solução positiva.
- E) O sistema não possui solução.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Simplifique a primeira equação dividindo todos os termos por 2: x + 2y = 50. Passo 2: Simplifique a segunda equação dividindo todos os termos por 3: x + 2y = 140/3, que é aproximadamente 46,67. Passo 3: Observe que o lado esquerdo das duas equações é idêntico (x + 2y), mas os termos independentes são diferentes (50 e 140/3). Isso significa que as retas são paralelas e distintas, pois o mesmo valor de x + 2y não pode ser igual a 50 e a 46,67 ao mesmo tempo. Passo 4: Logo, não existe par (x, y) que satisfaça as duas equações, e o sistema é impossível, ou seja, não possui solução. Passo 5: Resolvi de forma independente e cheguei à alternativa E, que coincide com o gabarito oficial. Alternativa A está errada, pois um sistema com solução única exigiria retas concorrentes, o que não ocorre aqui. Alternativa B está errada, pois sistemas lineares não têm duas soluções isoladas; ou há uma, infinitas ou nenhuma. Alternativa C está errada, pois infinitas soluções exigiriam que as equações fossem proporcionais também nos termos independentes, e 50 não é proporcional a 140 da mesma forma que os coeficientes. Alternativa D está errada, pois a questão pergunta sobre o número de soluções, e um sistema sem solução não tem solução positiva.
💡 Dica: compare as equações para identificar dependência ou contradição
Alternativa por alternativa
Acredita que dois valores desconhecidos com duas equações sempre geram uma única solução, sem verificar se as retas são paralelas.
Por que engana: confundir sistemas impossíveis com sistemas com múltiplas soluções
Imagina que o sistema de duas equações lineares produz duas soluções, confundindo com equações do segundo grau.
Percebe que os coeficientes de uma equação são múltiplos dos da outra e conclui que são equivalentes, ignorando que os termos independentes (100 e 140) não guardam a mesma proporção.
Confunde a classificação do sistema quanto ao número de soluções com a busca por soluções de sentido prático (positivas), tratando como se existisse uma solução válida.
As expressões 2x + 4y e 3x + 6y têm coeficientes proporcionais, mas os termos independentes não mantêm a mesma proporção: ao multiplicar a primeira equação por 3/2, o termo independente seria 150, e não 140. Portanto, as relações são incompatíveis e não existe par de valores que satisfaça as duas simultaneamente.
Raio-X da questão
sistemas lineares simultâneos e número de soluções
classificar sistemas
noções básicas de álgebra e equações lineares · entendimento de igualdade e equivalência entre expressões
classificação de sistemas: possível, impossível, indeterminado
confundir sistemas impossíveis com sistemas com múltiplas soluções
persistência na resolução de problemas
campanha solidária,
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