Uma fábrica utiliza dois tipos de processos, P1 e P2, para produzir dois tipos de chocolates, C1 e C2. Para…

Questão

Uma fábrica utiliza dois tipos de processos, P1 e P2, para produzir dois tipos de chocolates, C1 e C2. Para produzir 1 000 unidades de C1 são exigidas 3 horas de trabalho no processo P1 e 3 horas em P2. Para produzir 1 000 unidades de C2 são necessárias 1 hora de trabalho no processo P1 e 6 horas em P2. Representando por x a quantidade diária de lotes de 1 000 unidades de chocolates produzidas pelo processo P1 e por y a quantidade diária de lotes de 1000 unidades de chocolates produzidas pelo processo P2, sabe-se que o número de horas trabalhadas em um dia no processo P1 é 3x + y, e que o número de horas trabalhadas em um dia no processo P2 é 3x + 6y. [IMAGEM] Dado que no processo P1 pode-se trabalhar no máximo 9 horas por dia e no processo P2 pode-se trabalhar no máximo 24 horas por dia, a representação no plano cartesiano do conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem, simultaneamente, às duas restrições de número de horas possíveis de serem trabalhadas nos processos P1 e P2, em um dia, é: UNESP - 2010

1. A) [IMAGEM]
2. B) [IMAGEM]
3. C) [IMAGEM]
4. D) [IMAGEM]
5. E) [IMAGEM]

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Traduza as restrições. O processo P1 tem no máximo 9 horas por dia, então 3x + y ≤ 9. O processo P2 tem no máximo 24 horas por dia, então 3x + 6y ≤ 24. Como x e y são quantidades de lotes, também valem x ≥ 0 e y ≥ 0, ou seja, o conjunto fica no primeiro quadrante.
2. Encontre as retas de fronteira. Para 3x + y = 9: com y = 0, x = 3; com x = 0, y = 9. Para 3x + 6y = 24: com y = 0, x = 8; com x = 0, y = 4.
3. Encontre o ponto de interseção das duas retas. Substituindo y = 9 - 3x em 3x + 6y = 24, obtém-se 3x + 54 - 18x = 24, logo -15x = -30, x = 2 e y = 3. O ponto é (2, 3).
4. Verifique os vértices da região. O ponto (0, 0) satisfaz tudo. O ponto (3, 0) dá 3*3 + 0 = 9 ≤ 9 e 9 ≤ 24, então é válido. O ponto (2, 3) dá 6 + 3 = 9 e 6 + 18 = 24, então está na fronteira comum. O ponto (0, 4) dá 4 ≤ 9 e 24 ≤ 24, então também é válido. O ponto (0, 9) não serve, pois 6*9 = 54 > 24, e o ponto (8, 0) não serve, pois 3*8 = 24 > 9.
5. Monte a região. Ela é o quadrilátero limitado pelos vértices (0, 0), (3, 0), (2, 3) e (0, 4), com lado sobre o eixo x de (0,0) a (3,0), lado sobre a reta 3x + y = 9 de (3,0) a (2,3), lado sobre a reta 3x + 6y = 24 de (2,3) a (0,4) e lado sobre o eixo y de (0,4) a (0,0). A alternativa correta é a E, que representa exatamente esse quadrilátero, incluindo as bordas, pois as desigualdades são não estritas.
6. Por que as outras estão erradas. Cada alternativa incorreta representa outra região: uma delas usa apenas uma das restrições, outra troca os limites de horas entre os processos, outra desenha retas com interseções erradas e outra ignora a condição de não negatividade ou inclui pontos que violam uma das desigualdades.

💡 Dica: Analise as restrições e represente as inequações no plano cartesiano para identificar a região correta.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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