Em uma atividade de modelagem matemática, estudantes analisaram a mistura de dois líquidos. O recipiente…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma atividade de modelagem matemática, estudantes analisaram a mistura de dois líquidos. O recipiente continha inicialmente 28 mL de uma solução. Depois, foram adicionados x mL de outro líquido. Para representar uma situação experimental específica, a professora informou que o volume total da mistura, em mililitros, era numericamente igual ao quadrado do volume adicionado. Assim, o modelo matemático obtido foi 28 + x = x². Como x representa um volume, deve-se considerar apenas a solução positiva da equação. Com base no modelo apresentado, qual é o valor aproximado de x, em mililitros, que representa o volume adicionado?
- A) O volume adicionado foi de 7 mL.
- B) O volume adicionado foi de 28 mL.
- C) O volume adicionado foi de 14 mL.
- D) O volume adicionado foi de 4 mL.
- E) O volume adicionado foi de aproximadamente 5,82 mL.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Reescreva o modelo na forma padrão de equação do segundo grau: x^2 - x - 28 = 0 (passando o termo 28 + x para o outro lado da igualdade).
- Calcule o discriminante: delta = (-1)^2 - 4 . 1 . (-28) = 1 + 112 = 113.
- Aplique a fórmula de Bhaskara: x = (1 + raiz de 113) / 2 ou x = (1 - raiz de 113) / 2.
- Como raiz de 113 é aproximadamente 10,63, obtemos x = (1 + 10,63) / 2 ≈ 5,82 ou x = (1 - 10,63) / 2 ≈ -4,82. Como x representa um volume, que não pode ser negativo, descartamos a raiz -4,82 e ficamos com x ≈ 5,82 mL.
- Verificação: 5,82^2 ≈ 33,87 e 28 + 5,82 = 33,82, valores muito próximos, o que confirma a resposta dentro da aproximação.
- A alternativa E está correta e coincide com o gabarito oficial. A alternativa A está errada porque 7 não satisfaz a equação (7^2 = 49, mas 28 + 7 = 35). A alternativa B está errada porque 28 ao quadrado é 784, muito diferente de 56. A alternativa C está errada porque 14^2 = 196, bem diferente de 42. A alternativa D está errada porque 4^2 = 16, enquanto 28 + 4 = 32.
💡 Dica: Reescreva como x² - x - 28 = 0, fatorando e escolhendo a raiz positiva.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente dividiu 28 por 4, tratando a equação como se fosse 4x = 28, ou simplificou o termo quadrático de forma incorreta, sem resolver de fato a equação do segundo grau.
O aluno supôs que o volume adicionado seria igual ao volume inicial de 28 mL, ignorando a relação do enunciado entre o volume total e o quadrado de x.
O aluno calculou a metade de 28, dividindo o termo independente por 2 como se fosse a solução direta, em vez de aplicar a fórmula de Bhaskara ao trinômio x^2 - x - 28 = 0.
O aluno tentou valores inteiros próximos sem verificar a substituição na equação, escolhendo 4 sem checar que 4^2 = 16 não é igual a 28 + 4 = 32.
Por que engana: Encontrar as duas raízes e escolher a negativa ou aceitar uma alternativa sem verificar a equação.
A equação é 28 + x = x², ou seja, x² − x − 28 = 0. Pela fórmula de Bhaskara, x = (1 ± √113)/2. Como x representa um volume, considera-se apenas a solução positiva: x = (1 + √113)/2 ≈ 5,82 mL.
Raio-X da questão
Raízes de uma equação do 2º grau.
Resolver uma equação
Operações com números inteiros e transposição de termos. · Resolução e fatoração de equações quadráticas.
Fatoração de trinômios e análise do sinal das raízes.
Encontrar as duas raízes e escolher a negativa ou aceitar uma alternativa sem verificar a equação.
Persistência na resolução de problemas.
Laboratório e volume
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