Em uma olimpíada de matemática, os estudantes enfrentaram a seguinte equação: x^4 - 5x^2 + 4 = 0. Para…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma olimpíada de matemática, os estudantes enfrentaram a seguinte equação: x^4 - 5x^2 + 4 = 0. Para resolver, a organização sugeriu o uso de uma substituição: x^2 = t, transformando a equação original em uma equação do 2º grau. Após resolver para t, eles deveriam voltar para x, considerando apenas soluções reais. Após aplicar a substituição x^2 = t na equação x^4 - 5x^2 + 4 = 0, quantas soluções reais distintas para x podem surgir no total, considerando todas as possibilidades dessa equação biquadrática?
- A) Duas soluções reais podem surgir para x.
- B) Quatro soluções reais distintas podem surgir para x.
- C) Três soluções reais podem surgir para x.
- D) Nenhuma solução real pode surgir para x.
- E) Apenas duas soluções reais podem surgir, pois x^2 só admite uma solução para cada valor.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Faça a substituição x^2 = t na equação x^4 - 5x^2 + 4 = 0. Como x^4 = (x^2)^2 = t^2, a equação vira t^2 - 5t + 4 = 0. Passo 2: Resolva a equação do 2º grau em t. O discriminante é Δ = (-5)^2 - 4·1·4 = 25 - 16 = 9, então t = (5 ± 3)/2, ou seja, t = 4 ou t = 1. Passo 3: Volte para x usando x^2 = t. Para t = 4, temos x^2 = 4, logo x = 2 ou x = -2. Para t = 1, temos x^2 = 1, logo x = 1 ou x = -1. Passo 4: Conte as soluções reais distintas: -2, -1, 1 e 2, totalizando quatro soluções. Passo 5: Por isso a alternativa correta é a B, que coincide com o gabarito oficial. A alternativa A está errada, pois confunde o número de valores de t (duas raízes) com o número de valores de x. A alternativa C está errada, pois não há raiz repetida nem solução zero que justificasse três soluções. A alternativa D está errada, pois a equação em t tem raízes reais positivas, e cada uma gera soluções reais em x. A alternativa E está errada, pois cada valor positivo de x^2 admite duas raízes reais, x e -x, e não apenas uma.
💡 Dica: Resolva t²-5t+4=0 e, para cada t positivo, encontre os dois valores reais de x.
Alternativa por alternativa
O aluno conta apenas os valores de t (t = 1 e t = 4) e os considera como as soluções de x, esquecendo que cada valor de t gera duas raízes quadradas.
Ao fazer a substituição x^2 = t, a equação se transforma em t^2 - 5t + 4 = 0. Esta equação tem dois valores reais para t: t = 4 e t = 1. Para cada t positivo, x^2 = t tem duas soluções reais (positiva e negativa), então são quatro soluções reais ao todo: x = 2, x = -2, x = 1, x = -1.
O aluno pode supor que uma das raízes gera apenas uma solução em x, ou que há uma solução extra como zero, quando as duas raízes de t são positivas e distintas.
O aluno pode confundir a equação biquadrática com uma equação sem raízes reais, ou achar que t negativo impede soluções, sem perceber que os valores de t encontrados são positivos.
O aluno acredita que x^2 tem apenas uma raiz para cada valor, esquecendo que tanto 2 quanto -2 elevados ao quadrado resultam em 4 e que o sinal negativo também gera uma solução.
Por que engana: Contar apenas uma solução de x para cada valor positivo de t.
Raio-X da questão
Equação biquadrada.
Reconhecer e resolve
Resolução de equação do segundo grau. · Radiciação e números reais.
Relação entre x²=t e as raízes reais de x.
Contar apenas uma solução de x para cada valor positivo de t.
Perseverança na resolução de problemas.
Contexto de olimpíad
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