O projeto de uma arquiteta apresenta a equação x^4 - 10x^2 + 9 = 0 para definir a área de uma superfície com…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
O projeto de uma arquiteta apresenta a equação x^4 - 10x^2 + 9 = 0 para definir a área de uma superfície com propriedades simétricas. Durante a análise, percebe-se que, ao tentar resolver a equação, ela pode ser comparada a uma equação de grau menor por meio de uma mudança de variável adequada. Esse procedimento facilita encontrar as soluções reais de x. Com base na situação apresentada no projeto, qual é a troca de variável que transforma a equação x^4 - 10x^2 + 9 = 0 em uma equação do 2º grau, tornando a resolução mais simples?
- A) A troca de variável y = x^3 transforma a equação original em y^(4/3) - 10y^(2/3) + 9 = 0.
- B) A troca de variável y = x^4 transforma a equação original em y - 10x^2 + 9 = 0.
- C) A troca de variável y = x transforma a equação original em y^4 - 10y^2 + 9 = 0.
- D) A troca de variável y = x + 3 transforma a equação original em (y - 3)^4 - 10(y - 3)^2 + 9 = 0.
- E) A troca de variável y = x^2 transforma a equação original em y^2 - 10y + 9 = 0.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Observe que x^4 pode ser escrito como (x^2)^2, e x^2 aparece como termo intermediário. Isso sugere a troca y = x^2.
- Substituindo, a equação x^4 - 10x^2 + 9 = 0 vira y^2 - 10y + 9 = 0, que é do 2º grau em y.
- Resolvendo por Bhaskara, delta = 100 - 36 = 64, e y = (10 ± 8)/2, ou seja, y = 9 ou y = 1.
- Voltando para x: x^2 = 9 dá x = 3 ou x = -3, e x^2 = 1 dá x = 1 ou x = -1. Assim, as soluções reais são -3, -1, 1 e 3.
- Conclusão sobre as alternativas. A alternativa E está correta, pois y = x^2 gera exatamente a equação do 2º grau y^2 - 10y + 9 = 0. A alternativa A está errada porque y = x^3 gera expoentes fracionários (4/3 e 2/3), que não formam uma equação do 2º grau. A alternativa B está errada porque, ao trocar x^4 por y, o termo -10x^2 continua na variável x e a equação não fica em uma única variável. A alternativa C está errada porque y = x não muda nada: a equação continua de grau 4. A alternativa D está errada porque a substituição y = x + 3 não reduz o grau; a expressão (y - 3)^4 ainda é de grau 4.
💡 Dica: Observe que x⁴ pode ser escrito como (x²)² e tome y=x².
Alternativa por alternativa
Acredita que qualquer potência da variável serve para reduzir o grau da equação, sem verificar se os novos expoentes são inteiros. Assim, não percebe que x^4 e x^2 viram potências fracionárias de y.
Faz a troca y = x^4 mas não reescreve o termo x^2 em função de y, mantendo a equação com duas variáveis. Ou seja, entende a substituição de forma incompleta.
Acredita que trocar x por y muda a estrutura da equação, quando na prática é apenas uma mudança de nome da variável. A equação continua de grau 4.
Por que engana: Escolher y=x⁴ ou não perceber que x⁴=(x²)².
Supõe que deslocar a variável por uma constante (y = x + 3) reduz o grau, sem perceber que (y - 3)^4 ainda é um polinômio de grau 4. Confunde translação com redução de grau.
A substituição y = x^2 faz com que x^4 vire y^2 e x^2 vire y, resultando na equação do segundo grau y^2 - 10y + 9 = 0, que é mais simples de resolver.
Raio-X da questão
Substituição em equação biquadrada.
Identificar a mudanç
Potenciação e propriedades de expoentes. · Reconhecimento da forma ax⁴+bx²+c=0.
Equações biquadradas e redução a equações quadráticas.
Escolher y=x⁴ ou não perceber que x⁴=(x²)².
Arquitetura e simetr
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