Em um concurso de programação, a pontuação final de cada participante depende de uma equação baseada no número…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um concurso de programação, a pontuação final de cada participante depende de uma equação baseada no número de desafios resolvidos. Para uma determinada etapa, a pontuação P é calculada por P = x^2 - 5x + 6, em que x representa o número de desafios resolvidos corretamente por um participante. Para ser premiado, o participante precisa receber exatamente zero pontos após o cálculo. Considerando a regra do concurso apresentada no texto, quais são os números inteiros de desafios resolvidos corretamente por um participante que garantirão a pontuação final de zero, segundo a equação indicada?
- A) Os números inteiros de desafios resolvidos são 2 e 5.
- B) Os números inteiros de desafios resolvidos são 0 e 6.
- C) Os números inteiros de desafios resolvidos são 1 e 6.
- D) Os números inteiros de desafios resolvidos são 3 e 6.
- E) Os números inteiros de desafios resolvidos são 2 e 3.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- A pontuação deve ser zero, então resolvemos a equação x^2 - 5x + 6 = 0. Passo 2: Procuramos dois números cujo produto seja 6 (termo independente) e cuja soma seja 5 (coeficiente de x, com sinal trocado). Passo 3: Fatorando, temos (x - 2)(x - 3) = 0, pois 2 x 3 = 6 e 2 + 3 = 5. Passo 4: Logo, x = 2 ou x = 3. Conferindo: para x = 2, 4 - 10 + 6 = 0; para x = 3, 9 - 15 + 6 = 0. Passo 5: A alternativa A está errada, pois x = 5 dá 25 - 25 + 6 = 6, e não zero. A alternativa B está errada, pois x = 0 dá 6 e x = 6 dá 12. A alternativa C está errada, pois x = 1 dá 2 e x = 6 dá 12. A alternativa D está errada, pois x = 3 é raiz, mas x = 6 dá 12. Passo 6: Portanto, o gabarito oficial E está correto, pois os inteiros que zeram a pontuação são 2 e 3.
💡 Dica: Fatore o polinômio procurando dois números cujo produto seja 6 e cuja soma seja 5.
Alternativa por alternativa
O aluno acertou uma raiz (2) mas considerou 5 como raiz, provavelmente confundindo o coeficiente -5 com a própria raiz, sem substituir o valor na equação.
Por que engana: Confundir os sinais dos fatores e escolher 2 e 5 em vez de 2 e 3.
O aluno acredita que as raízes são o termo independente (6) e o zero, confundindo raízes com os coeficientes ou termos da equação.
O aluno procurou apenas dois números cujo produto seja 6 (1 e 6) e não verificou a soma, que deveria ser 5; assim, não testou a condição da equação.
O aluno encontrou corretamente a raiz 3, mas incluiu 6 por confundir o termo independente com raiz ou por não substituir x = 6 na equação, onde o resultado é 12.
Ao substituir P por zero na equação (0 = x^2 - 5x + 6), chegamos à equação x^2 - 5x + 6 = 0. Fatorando, encontramos (x - 2)(x - 3) = 0, cujas soluções inteiras são x = 2 e x = 3.
Raio-X da questão
Raízes de uma equação quadrática por fatoração.
Encontrar as raízes
Resolução de equações do segundo grau. · Operações com números inteiros e fatoração.
Produtos notáveis e fatoração de trinômios.
Confundir os sinais dos fatores e escolher 2 e 5 em vez de 2 e 3.
Concurso de programa
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