— Para que a barraca de orientação atenda igualmente aos dois acessos da feira, ela não pode ficar mais…

Questão

— Para que a barraca de orientação atenda igualmente aos dois acessos da feira, ela não pode ficar mais próxima de uma via do que da outra — explicou a organizadora ao observar o mapa. Nele, as vias Rua do Mercado e Rua do Porto são representadas, respectivamente, pelos semieixos positivos x e y, que se encontram no ponto O(0,0). Dois depósitos de materiais estão marcados em A(2,4) e B(8,4). A barraca deve ficar no interior do ângulo formado pelas vias, à mesma distância de cada uma delas e também à mesma distância dos dois depósitos. As distâncias no mapa são medidas em quadras, e a distância até uma via corresponde ao segmento perpendicular à linha que a representa. Determine, a partir das condições apresentadas no mapa, a posição da barraca de orientação.

1. A) O ponto (3,3).
2. B) O ponto (5,5).
3. C) O ponto (4,4).
4. D) O ponto (6,6).
5. E) O ponto (5,0).

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. A barraca deve estar a mesma distância das duas vias. Como a Rua do Mercado é o eixo x e a Rua do Porto é o eixo y, a distância de um ponto (x,y) à primeira via é |y| e à segunda é |x|. Logo, |x| = |y|.
2. Como a barraca deve ficar no interior do ângulo formado pelas vias (primeiro quadrante), x e y são positivos, então x = y. Essa é a bissetriz do primeiro quadrante, a reta y = x.
3. A barraca também deve estar à mesma distância dos depósitos A(2,4) e B(8,4). Isso significa que ela pertence à mediatriz do segmento AB. O ponto médio de AB é (5,4) e o segmento AB é horizontal, então a mediatriz é a reta vertical x = 5.
4. A interseção das duas condições é x = 5 e y = x, ou seja, o ponto (5,5).
5. Verificação: distância de (5,5) à Rua do Mercado (eixo x) é 5 e à Rua do Porto (eixo y) é 5. Distância ao depósito A: raiz de (3^2 + 1^2) = raiz de 10. Distância ao depósito B: raiz de (3^2 + 1^2) = raiz de 10. Todas as condições são atendidas.
6. Por que as outras alternativas estão erradas: (3,3) está na bissetriz, mas não está na mediatriz de AB; (4,4) também está na bissetriz, mas não tem x = 5; (6,6) está na bissetriz, mas x = 6 não pertence à mediatriz; (5,0) satisfaz x = 5, mas está sobre a Rua do Mercado (distância 0 a ela), violando a condição de estar no interior do ângulo e de ter a mesma distância às duas vias. O gabarito oficial B está correto.

💡 Dica: Use a definição de distância a uma reta e equidistância para encontrar o ponto.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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