— Para ampliar a embalagem cúbica sem alterar sua forma, não basta olhar apenas para o volume — explicou a…

Questão

— Para ampliar a embalagem cúbica sem alterar sua forma, não basta olhar apenas para o volume — explicou a responsável pelo setor de presentes de uma livraria. A caixa atual recebe 10 etiquetas de tamanho fixo, distribuídas em toda a superfície externa. A nova versão deverá comportar um volume 64 vezes maior, mantendo-se semelhante à anterior. No planejamento, registrou-se que, quando a medida da aresta é multiplicada por k, o volume é multiplicado por k^3, enquanto a área externa é multiplicada por k^2. Assim, a variação da área externa pode ser calculada pelo fator 64^(2/3). Como as etiquetas têm o mesmo tamanho, sua quantidade deve acompanhar essa variação. Com base no planejamento descrito, elabore a encomenda de etiquetas necessária para cada nova caixa.

1. A) Encomendar 40 etiquetas por caixa.
2. B) Encomendar 320 etiquetas por caixa.
3. C) Encomendar 640 etiquetas por caixa.
4. D) Encomendar 80 etiquetas por caixa.
5. E) Encomendar 160 etiquetas por caixa.

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. O volume fica 64 vezes maior, e o volume varia com k^3. Logo k^3 = 64, portanto k = 4 (raiz cúbica de 64 é 4). Passo 2: A área externa varia com k^2 = 4^2 = 16. Isso confirma o fator 64^(2/3) = (64^(1/3))^2 = 4^2 = 16. Passo 3: Como as etiquetas têm tamanho fixo, a quantidade de etiquetas acompanha a variação da área. Logo, a nova caixa precisa de 10 x 16 = 160 etiquetas. Passo 4: Conferência com o gabarito oficial: a alternativa E (160 etiquetas por caixa) coincide com o resultado obtido, então o gabarito está correto. Passo 5: Por que as outras estão erradas: A (40) usa o fator linear k = 4 em vez da área, errando a potência. B (320) divide o fator de área por dois e não corresponde a nenhuma potência correta do fator 64. C (640) aplica o fator de volume 64 diretamente à área, ignorando que a área cresce com k^2. D (80) usa a raiz quadrada de 64 (que é 8) em vez de 64^(2/3), confundindo o expoente.

💡 Dica: Calcule o fator de aumento da área pela raiz quadrada do cubo do volume.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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