Durante a preparação de um painel digital para uma biblioteca, uma ilustradora ampliou uma malha quadrada. A…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Durante a preparação de um painel digital para uma biblioteca, uma ilustradora ampliou uma malha quadrada. A versão inicial ocupava 16 unidades quadradas na tela, e a versão final deve ocupar 1296 unidades quadradas, sem deformar o desenho. Para preservar as proporções, todos os comprimentos da malha devem ser multiplicados pelo mesmo fator. A ilustradora verificou que a área final é 81 vezes a área inicial. No manual do programa, esse fator de comprimento deve ser registrado como uma potência cujo expoente seja uma fração, em vez de ser escrito com o símbolo de raiz. Identifique a expressão que registra, como potência de expoente fracionário, o fator pelo qual os comprimentos da malha devem ser multiplicados.
- A) O fator de ampliação é dado por 81^(1/81).
- B) O fator de ampliação é dado por 81^(-1/2).
- C) O fator de ampliação é dado por 81^(2/1).
- D) O fator de ampliação é dado por 81^(1/2).
- E) O fator de ampliação é dado por 81^2.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Calcule a razão entre as áreas: 1296 / 16 = 81. O enunciado confirma que a área final é 81 vezes a inicial.
- Como a área é formada por dois comprimentos (base e altura), se todos os comprimentos são multiplicados pelo mesmo fator k, a área fica multiplicada por k^2. Logo, k^2 = 81.
- Isso significa que k é a raiz quadrada de 81, ou seja, k = 9. Escrita como potência de expoente fracionário, a raiz quadrada corresponde ao expoente 1/2, então k = 81^(1/2).
- Verificação: 81^(1/2) = 9, e 9^2 = 81, o que confirma a relação com a área.
- Por que as outras estão erradas: A) 81^(1/81) é uma raiz de índice 81, que não corresponde à relação quadrática entre áreas e comprimentos. B) 81^(-1/2) = 1/9 seria uma redução, mas a ilustradora está ampliando a malha. C) 81^(2/1) = 81^2 = 6561 é uma potência com expoente 2, que elevaria o fator já ao quadrado, em vez de extrair a raiz. E) 81^2 também resulta em 6561 e confunde o fator linear com a própria razão de áreas.
- Conclusão: o fator de ampliação dos comprimentos é 81^(1/2), alternativa D, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Use a relação entre áreas e fator de escala para encontrar a potência de expoente fracionário.
Alternativa por alternativa
O aluno inverte a relação entre os números, usando 1/81 como expoente, e aplica uma raiz de índice 81 em vez da raiz quadrada.
O aluno acha que, por ser fator de ampliação, o expoente deve ser negativo, ou seja, interpreta o fator como uma redução e calcula o inverso da raiz.
O aluno percebe que o expoente deve ser 2, mas não compreende que o expoente fracionário corresponde à raiz; escreve 2/1 e eleva 81 ao quadrado, confundindo a operação de raiz com a de potência.
A área foi multiplicada por 81, então o fator de comprimento é a raiz quadrada de 81, registrada como 81^(1/2).
O aluno acredita que, se a área cresce 81 vezes, o comprimento também deve ser o próprio 81 elevado ao quadrado, sem perceber que a área é que se obtém elevando o fator linear ao quadrado.
Raio-X da questão
potência de expoente fracionário
avaliacao
potência e expoentes · relações de área e comprimento
Estude potências e raízes quadradas para entender expoentes fracionários.
Confundir o fator de área com o fator de comprimento, aplicando diretamente a área como fator de escala linear.
pensamento_critico
cotidiano
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