— Para encomendar o piso, precisamos conferir a medida total da moldura — explicou a restauradora do centro…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
— Para encomendar o piso, precisamos conferir a medida total da moldura — explicou a restauradora do centro cultural. Uma placa quadrada de lado x cm será colocada no centro de um painel. Ao redor dela, haverá uma faixa de 7 cm de largura em cada um dos quatro lados, formando um novo quadrado. No cadastro da obra, a área desse painel completo foi registrada como x^2 + 28x + 196, em cm^2. Antes de comprar o material, a restauradora pretende escrever essa expressão na forma de um produto, pois essa forma evidencia a medida do lado do painel completo. Analise a composição do painel e identifique a fatoração que representa a área total registrada.
- A) (x + 14)(x + 14)
- B) (x + 28)(x + 7)
- C) (x + 7)(x + 7)
- D) (x - 14)(x - 14)
- E) (x + 14)(x - 14)
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique a composição do painel. A placa central é um quadrado de lado x cm. A faixa de 7 cm aparece nos dois lados opostos, então o lado total do painel é x + 7 + 7 = x + 14 cm.
- Calcule a área do painel completo, que é um quadrado de lado x + 14. A área é (x + 14)(x + 14), ou (x + 14)^2.
- Desenvolva o produto para conferir. (x + 14)^2 = x^2 + 2·14·x + 14^2 = x^2 + 28x + 196, que é exatamente a expressão registrada no cadastro.
- Compare com as alternativas. A alternativa A, (x + 14)(x + 14), é a única cujo desenvolvimento coincide com x^2 + 28x + 196, e por isso é a correta. O gabarito oficial também indica A, portanto está de acordo com a resolução.
- Verifique por que as outras estão erradas. B desenvolve para x^2 + 35x + 196, com termo do meio incorreto. C desenvolve para x^2 + 14x + 49, pois considera o lado como x + 7, ignorando que a faixa soma 14 cm no total. D desenvolve para x^2 - 28x + 196, com sinal trocado no termo do meio. E é uma diferença de quadrados que resulta em x^2 - 196, sem termo em x.
💡 Dica: Fatore a expressão para encontrar a medida do lado do painel.
Alternativa por alternativa
A faixa acrescenta 7 cm em cada extremidade, totalizando 14 cm no lado. Assim, a área é (x + 14)^2, que resulta em x^2 + 28x + 196.
O aluno procurou dois números que multiplicam 196 e concluiu que 28 e 7 serviriam, sem verificar se a soma dos fatores dá o coeficiente 28 de x. Ele não testou o desenvolvimento do produto.
O aluno considerou que a faixa de 7 cm acrescenta 7 ao lado uma única vez, esquecendo que há faixas nos dois lados opostos. Assim, tomou o lado como x + 7 em vez de x + 14.
O aluno percebeu que 196 é positivo e que o termo do meio é 28x, mas trocou o sinal da soma ao fatorar, achando que o lado seria x - 14. Como resultado, o desenvolvimento tem -28x, que não corresponde ao cadastro.
O aluno aplicou a fórmula de diferença de quadrados, (a + b)(a - b), que não se aplica porque a expressão tem termo em x e os dois fatores são iguais. Ele confundiu um produto notável com outro.
Raio-X da questão
fatoração de expressões quadráticas
avaliacao
produtos notáveis · expressões algébricas
estude fatoração e produtos notáveis
O aluno pode confundir a fatoração correta e não reconhecer o quadrado perfeito.
pensamento_critico
cotidiano
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