— Não podemos medir as distâncias com uma trena, pois o projeto será transferido para uma planta em escala —…

Questão

— Não podemos medir as distâncias com uma trena, pois o projeto será transferido para uma planta em escala — explicou a técnica responsável pela instalação de um totem em uma praça triangular. Os vértices da praça foram identificados por A, B e C. A planta informa que o triângulo tem lados de medidas diferentes e todos os ângulos internos menores que 90 graus. O totem deve ficar à mesma distância dos três vértices. No software de desenho, a técnica traçou dois arcos de mesmo raio, um com centro em A e outro com centro em B. Eles se cruzaram nos pontos P e Q, e ela desenhou a reta PQ. Para concluir o projeto, ainda falta obter um ponto que também mantenha a mesma distância em relação a C. Analise a construção iniciada no texto e identifique o procedimento que determina a posição do totem, sem realizar medições.

1. A) Construir a altura de A relativa a BC e usar sua interseção com PQ como posição do totem.
2. B) Construir a mediatriz de AC e usar sua interseção com PQ como posição do totem.
3. C) Construir a bissetriz do ângulo BAC e usar sua interseção com PQ como posição do totem.
4. D) Construir a mediana de C relativa a AB e usar sua interseção com PQ como posição do totem.
5. E) Construir a perpendicular a AC por A e usar sua interseção com PQ como posição do totem.

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. O totem deve estar à mesma distância dos vértices A, B e C. Um ponto equidistante de dois vértices de um segmento pertence à mediatriz desse segmento. Logo, o ponto procurado é o cruzamento das mediatrizes de dois lados do triângulo.
2. Os arcos de mesmo raio com centros em A e em B se cruzam em P e Q. Todo ponto da reta PQ está à mesma distância de A e de B, então PQ é a mediatriz de AB. Assim, o totem está em PQ, mas ainda precisa ser determinado.
3. Falta um segundo lugar geométrico. A mediatriz de AC é o conjunto dos pontos equidistantes de A e de C. Sua interseção com PQ é o único ponto equidistante de A, B e C, pois está em duas mediatrizes (esse ponto é o circuncentro do triângulo).
4. Como o triângulo tem todos os ângulos menores que 90 graus, ele é acutângulo, e o circuncentro fica no interior da figura, o que é coerente com a instalação de um totem na praça.
5. Por que as outras alternativas estão erradas: A) a altura de A não garante distâncias iguais aos vértices; B) é a alternativa correta; C) a bissetriz de BAC é equidistante dos lados do ângulo, não dos vértices; D) a mediana de C leva ao ponto médio de AB, que é equidistante só de A e B; E) a perpendicular a AC por A passa pelo vértice A e não define pontos equidistantes de A e C.
6. Conclusão: o gabarito oficial B está correto, e o procedimento é construir a mediatriz de AC e marcar sua interseção com PQ.

💡 Dica: Pense na definição do circuncentro e como encontrá-lo geometricamente.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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