— O sistema precisa conferir rapidamente se a quantidade registrada para cada lote está correta — explicou a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
— O sistema precisa conferir rapidamente se a quantidade registrada para cada lote está correta — explicou a desenvolvedora do aplicativo de uma cooperativa de reciclagem. Para organizar a impressão de etiquetas, ela criou uma regra em que x representa o número de caixas separadas em cada turno. O total de etiquetas previsto é dado por T = x^2 + 12x + 36. Antes de liberar a impressão, o aplicativo transforma essa expressão em um produto de dois fatores iguais. Segundo a desenvolvedora, essa etapa reduz erros quando o total é recalculado para diferentes valores de x. Analise a expressão usada no sistema e identifique a forma fatorada que permite verificar o cálculo por meio de um produto notável.
- A) A forma (x - 3)(x - 12).
- B) A forma (x + 4)(x + 9).
- C) A forma (x - 6)(x - 6).
- D) A forma (x + 6)(x + 6).
- E) A forma (x + 3)(x + 12).
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- A expressão dada é T = x^2 + 12x + 36.
- Reconhecemos um trinômio quadrado perfeito, que tem a forma a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2.
- O primeiro termo x^2 é o quadrado de x, então a = x. O último termo 36 é o quadrado de 6, então b = 6.
- Verificamos o termo do meio: 2ab = 2 · x · 6 = 12x, que coincide com o termo 12x da expressão.
- Logo, x^2 + 12x + 36 = (x + 6)(x + 6), que é o produto de dois fatores iguais, como o enunciado pede.
- Conferindo por distributiva: (x + 6)(x + 6) = x^2 + 6x + 6x + 36 = x^2 + 12x + 36, confirmando a fatoração.
- A alternativa A está errada, pois (x - 3)(x - 12) tem fatores diferentes e soma dos termos independentes resulta em -15x, não 12x.
- A alternativa B está errada, pois (x + 4)(x + 9) tem fatores diferentes e produz 13x no termo do meio.
- A alternativa C está errada, pois (x - 6)(x - 6) produz -12x no termo do meio, com sinal trocado.
- A alternativa E está errada, pois (x + 3)(x + 12) tem fatores diferentes e produz 15x no termo do meio.
- Portanto, a resposta correta é a alternativa D, em concordância com o gabarito oficial.
💡 Dica: Reconheça o trinômio quadrado perfeito e aplique a fatoração.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente procurou dois números cuja soma seja -15 e cujo produto seja 36, sem perceber que o fator precisa ser igual nos dois parênteses e que o sinal do termo do meio deve ser positivo.
O aluno tentou fatorar por soma e produto com números de sinais positivos, mas escolheu 4 e 9, que somam 13 e não 12, e não verificou se os fatores eram iguais.
O aluno reconheceu o quadrado perfeito e o 6 como raiz, mas errou o sinal do termo do meio, esquecendo que 2 · x · 6 é positivo e não negativo.
Correta: x^2 + 12x + 36 é o quadrado de x + 6, pois o termo central é 2*6*x e o termo constante é 6^2.
O aluno buscou dois fatores com produto 36 e soma 15 (3 e 12), confundindo a soma 15 com o coeficiente 12 de x, sem conferir pela distributiva.
Raio-X da questão
fatoração de trinômio quadrado perfeito
diagnostico
produtos notáveis · expressões algébricas
Estude produtos notáveis e fatoração de expressões algébricas.
O aluno pode não reconhecer o trinômio como um quadrado perfeito e tentar fatorar incorretamente.
pensamento_critico
cotidiano
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