Durante a implantação de um sistema de bicicletas elétricas, uma escola representou dois portões em um plano…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Converter representações algébricas de funções polinomiais de 1º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais o comportamento é proporcional, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Durante a implantação de um sistema de bicicletas elétricas, uma escola representou dois portões em um plano cartesiano. O portão A está no ponto (-4, 2), e o portão B, no ponto (2, 8). O projeto prevê instalar um ponto de recarga em qualquer posição que esteja à mesma distância dos dois portões. Considere que as distâncias são medidas em linha reta no plano. Com base nessa representação, qual equação descreve o lugar geométrico de todos os pontos que podem receber o ponto de recarga?
- A) A reta de equação x + y - 4 = 0.
- B) A reta de equação y - 5 = 0.
- C) A reta de equação x + 1 = 0.
- D) A reta de equação x - y + 6 = 0.
- E) A circunferência de centro (-1,5) e raio √18.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- O lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois pontos fixos é a mediatriz do segmento que os une. Assim, precisamos achar o ponto médio de AB e a direção perpendicular a AB.
- Ponto médio M de A(-4, 2) e B(2, 8): M = ((-4+2)/2, (2+8)/2) = (-1, 5).
- Coeficiente angular de AB: (8-2)/(2-(-4)) = 6/6 = 1. A mediatriz é perpendicular a AB, logo tem coeficiente angular -1.
- Equação da reta de inclinação -1 que passa por M(-1, 5): y - 5 = -1(x + 1), ou seja, y - 5 = -x - 1, que resulta em x + y - 4 = 0.
- Conferência: o ponto P(0, 4) está na reta (0 + 4 - 4 = 0). Distância de P ao portão A: raiz de (4^2 + 2^2) = raiz de 20. Distância de P ao portão B: raiz de (2^2 + 4^2) = raiz de 20. As distâncias são iguais, confirmando a resposta.
- Por que as outras estão erradas: a reta y - 5 = 0 é horizontal e não é perpendicular a AB; a reta x + 1 = 0 é vertical, também sem relação com a perpendicular a AB; a reta x - y + 6 = 0 é paralela a AB, não perpendicular; a circunferência de centro (-1, 5) e raio raiz de 18 tem AB como diâmetro, mas o lugar geométrico pedido é uma reta, não uma circunferência.
- Conclusão: o gabarito oficial A está correto. A equação que descreve o lugar geométrico é x + y - 4 = 0.
💡 Dica: Pense no conjunto de pontos com mesma distância de A e B.
Alternativa por alternativa
Se P(x,y) é equidistante de A e B, então PA² = PB². Assim, (x+4)² + (y-2)² = (x-2)² + (y-8)². Desenvolvendo e simplificando, obtém-se 12x + 12y - 48 = 0, ou x + y - 4 = 0. Essa reta passa pelo ponto médio de AB, que é (-1,5), e é perpendicular ao segmento AB, cuja inclinação é 1.
O aluno encontra o ponto médio, mas considera que a reta procurada deve ser horizontal, como se a perpendicular a AB fosse paralela ao eixo x. Ele usa só a coordenada y do ponto médio e ignora a inclinação do segmento.
O aluno acredita que a mediatriz é vertical, usando apenas a coordenada x do ponto médio. Ele não calcula o coeficiente angular de AB nem a perpendicularidade.
Por que engana: Trocar a mediatriz pela reta do segmento ou por outra reta relacionada
O aluno confunde a reta perpendicular com a paralela a AB. Ele calcula corretamente a inclinação 1 de AB e obtém uma reta que passa pelo ponto médio, mas com a mesma inclinação do segmento, em vez de inclinação -1.
O aluno usa o ponto médio como centro e metade da distância AB como raio, achando que equidistância gera uma circunferência. Ele confunde o conjunto de pontos equidistantes de dois pontos (uma reta) com a circunferência de diâmetro AB, que é outro lugar geométrico.
Raio-X da questão
Mediatriz
Reconhecer mediatriz
Ponto médio de um segmento · Perpendicularidade entre retas
Lugar geométrico
Trocar a mediatriz pela reta do segmento ou por outra reta relacionada
Planejamento e organização de espaços
Raciocínio lógico
Planejamento de pont
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🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog