Uma escola quer instalar um equipamento de sinalização em um ponto do pátio que fique exatamente a 5 metros do…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Questão
Uma escola quer instalar um equipamento de sinalização em um ponto do pátio que fique exatamente a 5 metros do centro de uma quadra, representado pelo ponto C(2, -1) em um plano cartesiano. Todas as posições possíveis do equipamento devem manter essa mesma distância do centro. Qual expressão representa o conjunto de pontos do pátio em que o equipamento pode ser instalado?
- A) O conjunto de pontos é uma circunferência de centro em (2, 1) e raio 5, dada por (x-2)^2 + (y-1)^2 = 25.
- B) O conjunto de pontos é uma circunferência de centro em (2, -1) e raio 5, dada por (x-2)^2 + (y+1)^2 = 5.
- C) O conjunto de pontos é uma reta que passa por (2, -1) e mantém distância 5 do centro, dada por x + y = 1.
- D) O conjunto de pontos é uma circunferência de centro na origem e raio 5, dada por x^2 + y^2 = 25.
- E) O conjunto de pontos é uma circunferência de centro em (2, -1) e raio 5, dada por (x-2)^2 + (y+1)^2 = 25.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- O enunciado pede o conjunto de pontos do plano que estão a uma distância fixa de 5 metros do centro C(2, -1). Esse conjunto é uma circunferência.
- A equação reduzida de uma circunferência de centro (a, b) e raio r é (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.
- Substituindo a = 2, b = -1 e r = 5, obtemos (x - 2)^2 + (y - (-1))^2 = 5^2, ou seja, (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25.
- Logo, a alternativa correta é a E, que descreve exatamente essa circunferência com centro em (2, -1) e raio 5, com o quadrado do raio igual a 25.
- Por que as outras estão erradas: A tem o centro trocado (usa (2, 1) em vez de (2, -1)); B usa 5 no lado direito, que deveria ser o quadrado do raio, 25; C descreve uma reta, o que não corresponde a um conjunto de pontos à mesma distância de um centro; D coloca o centro na origem, quando o centro é C(2, -1).
💡 Dica: Use a forma (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2.
Alternativa por alternativa
O aluno trocou o sinal da ordenada do centro, usando (2, 1) em vez de (2, -1), e não observou que o centro é dado explicitamente no enunciado.
O aluno acertou o centro, mas escreveu o raio ao quadrado como 5 em vez de 25, confundindo a equação com a distância r em si.
Por que engana: Esquecer o quadrado do raio ou trocar o sinal das coordenadas do centro.
O aluno acredita que o lugar geométrico de pontos a uma distância fixa de um ponto é uma reta, confundindo com a mediatriz ou com uma equação linear de primeiro grau.
O aluno interpreta que a circunferência deve ter como centro a origem do plano, ignorando que o centro da quadra é o ponto C(2, -1) informado no enunciado.
Representa corretamente a equação da circunferência na forma reduzida, com centro (2,-1) e raio 5.
Raio-X da questão
Equação da circunferência
Reconhecer a equação
Plano cartesiano · Potenciação ao quadrado
Centro e raio no plano cartesiano
Esquecer o quadrado do raio ou trocar o sinal das coordenadas do centro.
Situação geométrica
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Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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