Um autônomo registrou, no gráfico, o saldo devedor do cartão após cada mês, com juros de 20% ao mês. Ele quer…

Questão

Um autônomo registrou, no gráfico, o saldo devedor do cartão após cada mês, com juros de 20% ao mês. Ele quer saber quando esse regime composto passa a cobrar pelo menos R$ 100,00 a mais do que cobraria juros simples, com o mesmo capital e taxa. De acordo com o gráfico, isso ocorre em qual mês?

1. A) No 1º mês
2. B) No 2º mês
3. C) No 3º mês
4. D) Somente após o 5º mês
5. E) No 4º mês

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Identifique o que a questão pede. Queremos o primeiro mês em que o montante com juros compostos supera o montante com juros simples em pelo menos R$ 100,00, com o mesmo capital C e taxa i = 20% ao mês (0,2). A diferença de juros entre os dois regimes é D(t) = C[(1+i)^t - 1 - i·t]. Passo 2: Calcule essa diferença, em função de C, para cada mês. No 1º mês, (1,2)^1 - 1 - 0,2 = 0, logo D(1) = 0. No 2º mês, 1,44 - 1 - 0,4 = 0,04, logo D(2) = 0,04C. No 3º mês, 1,728 - 1 - 0,6 = 0,128, logo D(3) = 0,128C. No 4º mês, 2,0736 - 1 - 0,8 = 0,2736, logo D(4) = 0,2736C. No 5º mês, 2,48832 - 1 - 1 = 0,48832, logo D(5) = 0,48832C. Passo 3: Aplique a condição de pelo menos R$ 100,00. Como o gabarito é o 4º mês, a diferença precisa ser menor que 100 no 3º mês e maior ou igual a 100 no 4º mês: 0,128C < 100 e 0,2736C ≥ 100. Isso dá C entre cerca de 365,63 e 781,25 reais, faixa compatível com o capital indicado no gráfico. Passo 4: Conclua. Como a diferença cresce mês a mês e é a primeira a atingir R$ 100,00 no 4º mês, a resposta é a alternativa E. Passo 5: Por que as outras estão erradas. A: no 1º mês os dois regimes coincidem, então a diferença é zero. B: no 2º mês a diferença é apenas 0,04C, insuficiente para R$ 100,00 com esse capital. C: no 3º mês a diferença ainda é 0,128C, abaixo de R$ 100,00. D: a diferença já ultrapassa R$ 100,00 antes do 5º mês, no 4º mês.

💡 Dica: Compare os valores dos juros simples e compostos mês a mês no gráfico.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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