Na trigonometria circular usual, considere os valores dos arcos x para os quais existem e estão bem definidas…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Na trigonometria circular usual, considere os valores dos arcos x para os quais existem e estão bem definidas a tangente, a cotangente, a secante e a cossecante. Em relação à equação trigonométrica tg²x + cotg²x = sec²x + cossec²x, é correto afirmar que (UECE 2023)
- A) possui uma única solução real.
- B) possui exatamente duas soluções reais.
- C) possui infinitas soluções reais.
- D) não possui solução real.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Os arcos considerados são aqueles em que tg x, cotg x, sec x e cossec x existem, ou seja, x diferente de k·pi/2, com k inteiro. Nesse domínio a equação pode ser analisada por identidades.
- Pela identidade fundamental, sec^2 x = 1 + tg^2 x, logo tg^2 x = sec^2 x - 1.
- Analogamente, cossec^2 x = 1 + cotg^2 x, logo cotg^2 x = cossec^2 x - 1.
- Somando: tg^2 x + cotg^2 x = sec^2 x + cossec^2 x - 2.
- Substituindo na equação original, ela fica sec^2 x + cossec^2 x - 2 = sec^2 x + cossec^2 x, o que equivale a -2 = 0, uma contradição.
- Como a contradição não depende de x, nenhum valor real do domínio satisfaz a equação. Logo ela não possui solução real, e a alternativa D está correta, em concordância com o gabarito oficial.
- A alternativa A está errada, pois a equação não tem nenhuma solução, e não apenas uma. A alternativa B está errada, pois não há duas soluções. A alternativa C está errada, pois a equação não é identidade verdadeira: o termo -2 impede que os dois lados sejam iguais para qualquer x.
💡 Dica: Use identidades trigonométricas para simplificar e comparar os termos da equação.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente tenta resolver a equação algebricamente, encontra uma igualdade simplificada que parece valer só para um valor específico de x, como um ponto isolado, e não percebe a contradição -2 = 0.
O aluno provavelmente trata a equação como uma equação quadrática em tg x ou sec x e acredita que existam dois valores de x que a satisfazem, por exemplo valores simétricos no intervalo de um ciclo, sem verificar a igualdade pela identidade fundamental.
O aluno provavelmente percebe que os termos sec^2 x + cossec^2 x aparecem nos dois lados e conclui que a equação é uma identidade válida para todo x, ignorando o termo -2 que surge ao substituir tg^2 x e cotg^2 x.
CORRETA. A equação dada não possui solução real, pois ao aplicar as identidades trigonométricas e considerar o domínio das funções, verifica-se que a igualdade não é satisfeita para nenhum valor real de x.
Raio-X da questão
identidades trigonométricas e domínio
diagnostico
funções trigonométricas básicas · identidades trigonométricas fundamentais
Estude as definições e propriedades das funções trigonométricas e seus domínios.
Confundir os domínios das funções trigonométricas ou aplicar incorretamente as identidades trigonométricas.
pensamento_critico
abstrato
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