Sabe-se que existem números reais A e x0, sendo A > 0, tais que sen x + 2 cos x = A cos(x - x0) para todo x…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Sabe-se que existem números reais A e x0, sendo A > 0, tais que sen x + 2 cos x = A cos(x - x0) para todo x real. O valor de A é igual a [FUVEST 2015 - Questão 51] FUVEST - 2015
- A) v2
- B) v3
- C) v5
- D) 2v2
- E) 2v3
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Expanda o lado direito pela fórmula do cosseno da diferença: cos(x - x0) = cos x · cos x0 + sen x · sen x0. Logo, A cos(x - x0) = (A cos x0) · cos x + (A sen x0) · sen x.
- Como a igualdade vale para todo x real, compare os coeficientes de sen x e de cos x dos dois lados. Do lado esquerdo, o coeficiente de sen x é 1 e o de cos x é 2.
- Obtemos o sistema A sen x0 = 1 e A cos x0 = 2.
- Elevando ao quadrado e somando: A^2 sen^2 x0 + A^2 cos^2 x0 = 1^2 + 2^2, ou seja, A^2 (sen^2 x0 + cos^2 x0) = 5. Como sen^2 x0 + cos^2 x0 = 1, temos A^2 = 5.
- Como A > 0, A = raiz de 5. Esse valor é a alternativa C, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: raiz de 2 (A), raiz de 3 (B), 2 raiz de 2 (D) e 2 raiz de 3 (E) não são compatíveis com A^2 = 5, pois seus quadrados são 2, 3, 8 e 12, respectivamente.
💡 Dica: Use a identidade trigonométrica para combinar sen x e cos x em uma única função cos(x - x0).
Alternativa por alternativa
Provavelmente ignorou o coeficiente 2 de cos x e somou apenas 1^2 + 1^2 = 2, como se os coeficientes de sen x e cos x fossem iguais.
Provavelmente calculou 2^2 - 1^2 = 3, subtraindo em vez de somar os quadrados dos coeficientes, o que ignora a identidade sen^2 + cos^2 = 1 aplicada corretamente.
Por que engana: Confundir a aplicação das identidades trigonométricas, levando a um valor incorreto para A.
CORRETA. v5 é o valor que satisfaz a equação para todos os x reais.
Provavelmente tratou o coeficiente 2 como fator externo da raiz, calculando 2 · raiz de (1 + 1) = 2 raiz de 2, em vez de usar a raiz de (1^2 + 2^2).
Provavelmente aplicou mal a fórmula da soma de quadrados, chegando a 2 raiz de 3 (raiz de 12), por erro no cálculo de 1^2 + 2^2 ou na simplificação do radical.
Raio-X da questão
identidade trigonométrica, soma de senos e cossenos
avaliacao
identidade trigonométrica · soma de senos e cossenos
Revisar identidades trigonométricas e transformação de soma em produto.
Confundir a aplicação das identidades trigonométricas, levando a um valor incorreto para A.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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