Se f e g são funções reais de variável real definidas por f(x) = sen²x e g(x) = cos²x, então, seus gráficos…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se f e g são funções reais de variável real definidas por f(x) = sen²x e g(x) = cos²x, então, seus gráficos, construídos em um mesmo sistema de coordenadas cartesianas, se cruzam exatamente nos pontos cujas abcissas são (UECE 2019)
- A) x = π/2 + kπ/2, onde k é um número inteiro qualquer.
- B) x = π/2 + 2kπ, onde k é um número inteiro qualquer.
- C) x = π/4 + kπ/2, onde k é um número inteiro qualquer.
- D) x = π/4 + 2kπ, onde k é um número inteiro qualquer.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Igualar as funções, pois os gráficos se cruzam onde f(x) = g(x), ou seja, sen^2 x = cos^2 x.
- Passar tudo para um lado: sen^2 x - cos^2 x = 0. Como sen^2 x - cos^2 x = -cos(2x), a equação equivale a cos(2x) = 0.
- Os zeros do cosseno são π/2 + kπ. Logo 2x = π/2 + kπ, e então x = π/4 + kπ/2, com k inteiro.
- Verificação: para x = π/4, sen^2 x = 1/2 e cos^2 x = 1/2, então há cruzamento. Para x = 3π/4, sen^2 x = 1/2 e cos^2 x = 1/2, também há cruzamento, o que mostra que o período das soluções é π/2 e não 2π.
- Por que as outras estão erradas: A) inclui x = π/2, onde sen^2 x = 1 e cos^2 x = 0, portanto não há cruzamento. B) usa o ponto π/2 e período 2π, que não correspondem às soluções reais. D) usa período 2π, mas as soluções se repetem a cada π/2, deixando de fora cruzamentos como x = 3π/4.
- Conclusão: a alternativa correta é a C, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Iguale as funções e resolva a equação trigonométrica resultante.
Alternativa por alternativa
O aluno resolve cos(2x) = 0 mas esquece o fator 2 e divide a solução de forma errada, chegando a π/2 + kπ/2. Também pode estar tomando os zeros de cos x em vez dos zeros de cos(2x).
O aluno usa a solução π/2 de cos x = 0 e considera período 2π, como se as funções trigonométricas de base fossem periódicas com o mesmo período de sen x e cos x, sem perceber que sen^2 x e cos^2 x têm período π.
CORRETA. As funções se cruzam quando sen²x = cos²x, o que ocorre em x = π/4 + kπ/2, com k inteiro, pois sen²x = cos²x implica sen²x - cos²x = 0, ou seja, sen2x = 0, e as soluções dessa equação são exatamente essas.
O aluno acerta o ponto inicial π/4, mas assume que a periodicidade é 2π, ignorando que as soluções se repetem a cada π/2 (por exemplo, 3π/4 também é solução).
Raio-X da questão
funções trigonométricas e interseção
diagnostico
funções trigonométricas básicas · equações trigonométricas simples
estude propriedades e identidades trigonométricas básicas
Confundir sen²x com sen x ou esquecer de usar identidades trigonométricas para simplificar a equação.
pensamento_critico
abstrato
Questões parecidas com resolução
- No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, a interseção dos gráficos das funções reais de variável real…
- Sejam f, g: R ? R funções definidas por f(x) = sen x, g(x) = sen 2x e P(a,b) um ponto na interseção dos gráficos de f e…
- Desenhados em um plano munido do sistema usual de coordenadas cartesianas, os gráficos das funções reais de variável…
- Se f, g e h são funções reais de variável real definidas respectivamente por f(x) = 1/x, g(x) = (x+1)/(x-1) e h(x) = x²…
- Considere a função real f, de variável real x, definida pelo seguinte determinante: f(x) = | 2cos(x) 2 | | 1 2cos(x) |…
- Observe o plano cartesiano, no qual estão representadas as funções f e g: O ponto P de interseção entre os gráficos…
🔎 Procurar outra questão
Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog