Sejam x e y números reais positivos tais que x + y = p/2. Sabendo-se que sen(y - x) = 1/3, o valor de tg²y -…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Sejam x e y números reais positivos tais que x + y = p/2. Sabendo-se que sen(y - x) = 1/3, o valor de tg²y - tg²x é igual a [FUVEST 2011 - Questão 25] FUVEST - 2011
- A) 3 / 2
- B) 5 / 4
- C) 1 / 2
- D) 1 / 4
- E) 1 / 8
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Como x + y = p/2 (pi/2), temos y = pi/2 - x, logo tg y = cotg x e a expressão pedida vira cotg^2 x - tg^2 x. Passo 2: Escrevendo cotg^2 x - tg^2 x = (cos^4 x - sen^4 x)/(sen^2 x cos^2 x) = (cos^2 x - sen^2 x)/(sen^2 x cos^2 x) = cos 2x / (sen^2 2x / 4) = 4 cos 2x / sen^2 2x, pois sen 2x = 2 sen x cos x. Passo 3: Como y - x = pi/2 - 2x, temos sen(y - x) = sen(pi/2 - 2x) = cos 2x = 1/3. Assim, sen^2 2x = 1 - 1/9 = 8/9. Passo 4: Substituindo: 4 . (1/3) / (8/9) = (4/3) . (9/8) = 3/2, que corresponde à alternativa A. Passo 5: Conferência: cos 2x = 1/3 dá 2x de aproximadamente 70,5 graus, logo x de aproximadamente 35,3 graus e y de aproximadamente 54,7 graus; ambos são positivos e somam 90 graus, então a condição do enunciado é satisfeita. Portanto o gabarito A está correto. Passo 6: As alternativas B (5/4), C (1/2), D (1/4) e E (1/8) não coincidem com o valor 3/2 obtido pela cadeia de identidades acima, logo estão erradas.
💡 Dica: Use identidades trigonométricas para expressar tg²y - tg²x em função de sen(y - x) e p.
Alternativa por alternativa
Incorreta. O valor não é 3/2.
Provavelmente o aluno cometeu um erro ao transformar sen^2 x cos^2 x em função de sen 2x, por exemplo esquecendo o fator 1/4, ou calculou sen^2 2x com um valor errado para cos 2x.
Por que engana: Confundir a relação entre seno e tangente, aplicando incorretamente as identidades trigonométricas.
O aluno pode ter tomado o valor 1/3 diretamente como resultado da diferença de tangentes ao quadrado, sem fazer a simplificação completa da expressão em cos 2x e sen^2 2x.
Provavelmente o aluno confundiu sen(y - x) com cos(y - x) ou não percebeu que y - x = pi/2 - 2x, gerando uma relação errada entre o dado do enunciado e a expressão pedida.
O aluno pode ter invertido a fração do quociente cos 2x / (sen^2 2x / 4) ou calculado (1/3) . (9/8) com erro de multiplicação e de frações, chegando a um valor pequeno demais.
Raio-X da questão
identidades trigonométricas, tangente, seno
avaliacao
identidades trigonométricas · funções seno e tangente
Revisar identidades trigonométricas e manipulação de funções trigonométricas.
Confundir a relação entre seno e tangente, aplicando incorretamente as identidades trigonométricas.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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