Sejam f, g: R ? R funções definidas por f(x) = sen x, g(x) = sen 2x e P(a,b) um ponto na interseção dos…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Sejam f, g: R ? R funções definidas por f(x) = sen x, g(x) = sen 2x e P(a,b) um ponto na interseção dos gráficos de f e g. Os possíveis valores para tg²a são (UECE 2012)
- A) 0 ou 1.
- B) 0 ou 2.
- C) 0 ou 3.
- D) 0 ou √3.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Um ponto P(a,b) está na interseção dos gráficos de f e g quando f(a) = g(a), ou seja, sen a = sen 2a. Passo 2: Use a identidade sen 2a = 2 sen a cos a, o que dá sen a = 2 sen a cos a. Passo 3: Passe tudo para um lado e fatore: sen a - 2 sen a cos a = 0, logo sen a (1 - 2 cos a) = 0. Passo 4: Há duas possibilidades. Caso 1: sen a = 0, então a = k pi, cos a = plus ou minus 1 e tg a = 0, portanto tg^2 a = 0. Caso 2: 1 - 2 cos a = 0, então cos a = 1/2. Nesse caso sen^2 a = 1 - 1/4 = 3/4 e tg^2 a = (3/4)/(1/4) = 3. Passo 5: Como cos a = 1/2 é compatível com cos a diferente de zero, tg a está definida. Os valores possíveis de tg^2 a são 0 e 3, o que corresponde à alternativa C. Passo 6: Conferência com o gabarito oficial: o gabarito C está correto. A alternativa A está errada porque 1 só apareceria se sen a = cos a, o que não decorre da equação. A alternativa B está errada porque 2 não é resultado de nenhum dos dois casos. A alternativa D está errada porque sqrt(3) é o valor de tg a, e não de tg^2 a.
💡 Dica: Iguale as funções e resolva a equação trigonométrica para encontrar tg²a.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente supôs que sen a = cos a, o que leva a tg^2 a = 1, e não percebeu que a equação correta é sen a = 2 sen a cos a.
O aluno provavelmente errou ao aplicar a relação 1 + tg^2 a = sec^2 a com cos a = 1/2, obtendo 2 em vez de 3 por erro de cálculo ou de quadrado.
CORRETA. Ao resolver sen a = sen 2a, obtém-se tg²a = 0 ou 3, que são os valores possíveis para o ponto de interseção.
O aluno provavelmente calculou tg a = sqrt(3) para a = pi/3 e esqueceu de elevar ao quadrado, respondendo o valor de tg a em vez de tg^2 a.
Raio-X da questão
funções trigonométricas interseção
diagnostico
funções trigonométricas básicas · equações trigonométricas
Estude resolução de equações trigonométricas e propriedades da função seno.
Confundir as soluções da equação seno e não considerar todas as soluções possíveis no intervalo real.
pensamento_critico
abstrato
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