Se z é um número complexo tal que z + 1/z = 1, então, o módulo de z é igual a (UECE 2023)
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se z é um número complexo tal que z + 1/z = 1, então, o módulo de z é igual a (UECE 2023)
- A) 1/2.
- B) 2/3.
- C) 1.
- D) 3/4.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Multiplique a equação z + 1/z = 1 por z (com z diferente de zero) para eliminar o denominador: z^2 + 1 = z, ou seja, z^2 - z + 1 = 0. Passo 2: Resolva essa equação do segundo grau. O discriminante é Δ = (-1)^2 - 4·1·1 = 1 - 4 = -3. Como Δ é negativo, as raízes são complexas: z = (1 ± i·raiz de 3)/2. Passo 3: Calcule o módulo de z = a + bi, que é raiz de (a^2 + b^2). Aqui a = 1/2 e b = ±raiz de 3/2, logo |z| = raiz de (1/4 + 3/4) = raiz de 1 = 1. Passo 4: Outra forma de verificar: o produto das raízes de z^2 - z + 1 = 0 é 1, e as duas raízes são conjugadas, então z·z̄ = |z|^2 = 1, o que dá |z| = 1. Passo 5: Conclusão: a alternativa correta é a C, que coincide com o gabarito oficial. A alternativa A está errada porque 1/2 é a parte real de z, não o módulo. A alternativa B está errada porque 2/3 não surge de nenhum passo correto da resolução. A alternativa D está errada porque 3/4 é apenas o quadrado da parte imaginária de z, que foi esquecido o termo da parte real.
💡 Dica: Use a propriedade do módulo e manipule a equação para encontrar o módulo de z.
Alternativa por alternativa
Confunde o módulo com a parte real de z, que de fato vale 1/2, e não calcula a raiz da soma dos quadrados das partes real e imaginária.
Erra no processo algébrico ao resolver a equação z^2 - z + 1 = 0 ou ao calcular a soma dos quadrados das partes real e imaginária, chegando a um valor sem relação com o módulo correto.
CORRETA. O módulo de z é 1, pois ao multiplicar a equação por z e analisar o módulo, conclui-se que |z|² = 1, logo |z| = 1.
Calcula corretamente o quadrado da parte imaginária, 3/4, mas esquece a parte real ao aplicar a fórmula do módulo, tomando apenas esse valor como resposta.
Raio-X da questão
módulo de número complexo
diagnostico
números complexos básicos · operações com números complexos
Estude propriedades do módulo e operações com números complexos.
Confundir a operação com o inverso de z e não aplicar corretamente a propriedade do módulo.
pensamento_critico
abstrato
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