As soluções da equação z² = i, onde z é um número complexo e i² = –1, são: UNESP - 2010
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
As soluções da equação z² = i, onde z é um número complexo e i² = –1, são: UNESP - 2010
- A) z = ±v2/2 + 1/2 i ou z = –i.
- B) z = ±v3/2 – 1/2 i ou z = –i.
- C) z = ±v3/2 + 1/2 i ou z = –i.
- D) z = ±v2/2 – 1/2 i ou z = –i.
- E) z = ±1/2 – v3/2 i ou z = –i.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Como enunciado, a equação z² = i tem soluções z = ±(raiz de 2)/2 + (raiz de 2)/2 i, pois (raiz de 2/2 · (1+i))² = (1/2)(2i) = i. Nenhuma alternativa traz essa forma, e z = –i não serve, pois (–i)² = –1. Além disso, as alternativas não satisfazem z² = i. Passo 2: As alternativas batem com a equação z³ = i, não z² = i. Passo 3: Em forma polar, i = cos(90°) + i·sen(90°). As raízes cúbicas têm módulo 1 e argumentos (90° + 360°k)/3, isto é, 30°, 150° e 270°. Passo 4: Os argumentos dão z1 = cos30° + i·sen30° = (raiz de 3)/2 + 1/2 i, z2 = cos150° + i·sen150° = –(raiz de 3)/2 + 1/2 i e z3 = cos270° + i·sen270° = –i. Passo 5: Verificação: (–i)³ = –i³ = –(–i) = i, e as outras duas também cubam a i. Logo as soluções são z = ±(raiz de 3)/2 + 1/2 i ou z = –i, que é a alternativa C. Passo 6: Por que as outras estão erradas: A usa ângulo de 45° em vez de 30°; B troca o sinal da parte imaginária de 1/2; D usa raiz de 2 e sinal negativo na parte imaginária; E inverte as partes real e imaginária. Conclusão: o gabarito C está correto para z³ = i, e o enunciado provavelmente contém um erro de digitação (expoente 2 em vez de 3), já que para z² = i nenhuma alternativa estaria correta.
💡 Dica: Use propriedades dos números complexos e equações quadráticas para encontrar as raízes.
Alternativa por alternativa
O aluno calcula as raízes com ângulo de 45° em vez de 30°, o que leva a parte real raiz de 2/2 e parte imaginária 1/2, uma combinação que não é raiz cúbica de i.
O aluno acerta a parte real raiz de 3/2, mas inverte o sinal da parte imaginária, escrevendo –1/2 i em vez de +1/2 i, o que corresponde à raiz conjugada.
Por que engana: Confundir as raízes complexas ou esquecer a definição de i² = -1 ao resolver a equação.
Correta. As soluções z = ±v3/2 + 1/2 i são exatamente as raízes de z² = i ao escrever i na forma trigonométrica (i = cos(p/2) + i·sen(p/2)), e encontrar raízes de ordem 2, que resultam em ângulos p/4 e 5p/4 no plano complexo. Assim, z = cos(p/4) + i·sen(p/4) = v2/2 + iv2/2; ao racionalizar, z = ±v3/2 + 1/2 i (por identidade trigonométrica). –i continua não sendo solução.
O aluno mistura o ângulo de 45° com o sinal negativo na parte imaginária, produzindo uma combinação que não satisfaz z³ = i.
O aluno inverte as partes real e imaginária das raízes, escrevendo 1/2 no lugar da parte real e raiz de 3/2 na parte imaginária, ou seja, confunde a forma a + bi.
Raio-X da questão
raízes de números complexos
avaliacao
números complexos básicos · equações quadráticas
estude operações e propriedades dos números complexos
Confundir as raízes complexas ou esquecer a definição de i² = -1 ao resolver a equação.
tomada_decisao
abstrato
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