Em um plano munido do sistema usual de coordenadas cartesianas, identifica-se o par ordenado (x, y) com o…

Questão

Em um plano munido do sistema usual de coordenadas cartesianas, identifica-se o par ordenado (x, y) com o número complexo z = x + iy, onde i é o número complexo tal que i² = -1. Se x e y são números reais quaisquer, o conjunto de números complexos z = x + iy, com |Z|² = (x + iy).(x - iy) = 1, é representado por (UECE 2022)

1. A) quatro retas paralelas aos eixos coordenados.
2. B) duas retas que passam pela origem do sistema de coordenadas.
3. C) um quadrado centrado na origem do sistema.
4. D) uma circunferência centrada na origem do sistema.

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Desenvolva o produto (x + iy)(x - iy). Ele tem a forma (a + b)(a - b) = a^2 - b^2, com a = x e b = iy. Logo, x^2 - (iy)^2 = x^2 - i^2 y^2 = x^2 - (-1)y^2 = x^2 + y^2. Passo 2: Como o enunciado impõe que esse produto seja igual a 1, temos a condição x^2 + y^2 = 1. Passo 3: Essa é a equação de uma circunferência de centro (0, 0) e raio r, na forma x^2 + y^2 = r^2. Com r^2 = 1, o raio é 1. Passo 4: Conclusão: o conjunto dos complexos z = x + iy que satisfazem a condição é uma circunferência centrada na origem, que é a alternativa D. Passo 5: Por que as outras estão erradas. A) As retas x = ±1 e y = ±1 não satisfazem a equação para todos os seus pontos, pois o ponto (1, 1) daria 1^2 + 1^2 = 2. B) Duas retas pela origem corresponderiam a uma equação do tipo x^2 - y^2 = 0, em que o sinal é de subtração, e não de soma. C) Um quadrado centrado na origem seria descrito por equações como |x| + |y| = 1 ou max(|x|, |y|) = 1, e não pela soma de quadrados. Passo 6: O gabarito oficial D confere com a resolução obtida.

💡 Dica: Use a definição do módulo do número complexo para encontrar a equação da curva.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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