Se p e q são números distintos que satisfazem a equação z² – 2z + 2 = 0, então p² + q² é igual a (UECE 2026)
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se p e q são números distintos que satisfazem a equação z² – 2z + 2 = 0, então p² + q² é igual a (UECE 2026)
- A) –2.
- B) –1.
- C) 0.
- D) 2.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Resolver a equação z^2 - 2z + 2 = 0 pela fórmula de Bhaskara. O discriminante é Δ = (-2)^2 - 4·1·2 = 4 - 8 = -4. Como Δ é negativo, as raízes são complexas: z = (2 ± raiz de -4) / 2 = (2 ± 2i) / 2 = 1 ± i.
- Como p e q são distintos e são as raízes, tomamos p = 1 + i e q = 1 - i (a ordem não altera o resultado).
- Calcular os quadrados. Em (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i. Em (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i.
- Somar: p^2 + q^2 = 2i + (-2i) = 0. Alternativa C.
- Verificação pelas relações de Girard: p + q = 2 e p·q = 2. Então p^2 + q^2 = (p + q)^2 - 2pq = 4 - 4 = 0, o que confirma o resultado.
- Conferência com o gabarito oficial: ele indica C, que coincide com a resposta obtida.
- Por que as outras estão erradas: A (-2) não é o valor da soma dos quadrados; B (-1) não corresponde a nenhuma das duas parcelas calculadas; D (2) é a soma p + q, e não a soma dos quadrados.
💡 Dica: Use as propriedades das raízes da equação quadrática para calcular p² + q².
Alternativa por alternativa
Confunde (p + q)^2 com p + q e calcula 2 - 2·2 = -2. Ou seja, usa a fórmula p^2 + q^2 = (p + q) - 2pq em vez de (p + q)^2 - 2pq.
Calcula apenas um dos quadrados como i^2 = -1 e ignora o termo cruzado 2i da expansão do binômio, chegando a -1 sem somar a segunda parcela corretamente.
CORRETA. Usando a soma das raízes p + q = 2 e o produto pq = 2, temos p² + q² = (p + q)² – 2pq = 4 – 4 = 0.
Lê a expressão p^2 + q^2 como se fosse p + q e responde a soma das raízes (2), sem elevar ao quadrado.
Raio-X da questão
raízes de equação quadrática
avaliacao
equação quadrática · soma e produto das raízes
estude soma e produto das raízes de equações quadráticas
confundir soma dos quadrados das raízes com soma ou produto das raízes, ou esquecer de usar a relação entre coeficientes e raízes.
pensamento_critico
abstrato
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