Os números complexos z1 = p + qi e z2 = m + ni são as raízes não reais da equação x³ - 1 = 0. O resultado…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Os números complexos z1 = p + qi e z2 = m + ni são as raízes não reais da equação x³ - 1 = 0. O resultado numérico da expressão |p| + |q| + |m| + |n| é (UECE 2012)
- A) 2 + √3.
- B) 3 + √2.
- C) 1 + √2.
- D) 1 + √3.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Fatorar a equação x^3 - 1 = 0 como diferença de cubos: (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0. Assim, uma raiz é x = 1, que é real, e as outras vêm de x^2 + x + 1 = 0. Passo 2: Aplicar Bhaskara em x^2 + x + 1 = 0. O discriminante é Delta = 1^2 - 4·1·1 = -3. Como Delta é negativo, as raízes são não reais: x = (-1 ± raiz de (-3)) / 2 = (-1 ± i·raiz de 3) / 2. Passo 3: Identificar as partes real e imaginária: z1 = -1/2 + (raiz de 3 / 2)i, logo p = -1/2 e q = raiz de 3 / 2; z2 = -1/2 - (raiz de 3 / 2)i, logo m = -1/2 e n = -raiz de 3 / 2. Passo 4: Calcular os módulos: |p| = 1/2, |q| = raiz de 3 / 2, |m| = 1/2 e |n| = raiz de 3 / 2. Passo 5: Somar: 1/2 + raiz de 3/2 + 1/2 + raiz de 3/2 = 1 + raiz de 3. Portanto a resposta é a alternativa D, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: a alternativa A usa valor 2 para a soma das partes reais em módulo, o que só ocorreria se a parte real fosse -1 em vez de -1/2; a alternativa B troca raiz de 3 por raiz de 2, o que não corresponde ao discriminante -3; a alternativa C combina 1 com raiz de 2, também sem apoio nos cálculos das raízes.
💡 Dica: Calcule as raízes complexas da equação e some os valores absolutos dos coeficientes.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente esquece de dividir por 2 na fórmula de Bhaskara e considera que a parte real vale -1 e não -1/2, obtendo módulos iguais a 1 para p e m.
O aluno calcula corretamente a estrutura das raízes, mas troca o radical raiz de 3 por raiz de 2 ao extrair a raiz do discriminante ou ao somar as partes imaginárias.
O aluno associa a parte real correta, mas confunde a parte imaginária, usando raiz de 2 em vez de raiz de 3, e soma os valores de forma incompleta.
CORRETA. A soma dos módulos das partes reais e imaginárias das raízes complexas da equação x³ - 1 = 0 é 1 + √3, conforme o cálculo correto das raízes da unidade.
Raio-X da questão
raízes complexas e módulo
avaliacao
números complexos básicos · operações com números complexos
estude números complexos e cálculo de módulo
Confundir as raízes complexas com números reais ou esquecer de calcular o módulo dos coeficientes.
pensamento_critico
abstrato
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