Se z é o número complexo tal que 2z + z¯ i - 1 = 0, onde z¯ é o conjugado de z e i é o número complexo tal que…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se z é o número complexo tal que 2z + z¯ i - 1 = 0, onde z¯ é o conjugado de z e i é o número complexo tal que i² = -1, então o módulo de z é igual a (UECE 2023)
- A) √5/3.
- B) √5/5.
- C) √5/2.
- D) √5/4.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Escrevemos z = a + bi, com a e b reais. O conjugado é z̄ = a - bi. Passo 2: Calculamos z̄ i = (a - bi)i = ai - b i^2 = b + ai, pois i^2 = -1. Passo 3: Substituindo na equação, 2z + z̄ i - 1 = (2a + 2bi) + (b + ai) - 1 = (2a + b - 1) + (a + 2b)i = 0. Passo 4: Igualando as partes real e imaginária a zero, obtemos 2a + b - 1 = 0 e a + 2b = 0. Da segunda equação, a = -2b. Substituindo na primeira: -4b + b = 1, logo b = -1/3 e a = 2/3. Passo 5: Assim z = 2/3 - (1/3)i. O módulo é raiz de (a^2 + b^2) = raiz de (4/9 + 1/9) = raiz de (5/9) = raiz de 5 / 3. Passo 6: Portanto a alternativa correta é A, em concordância com o gabarito. A alternativa B está errada, pois raiz de 5 / 5 não corresponde ao módulo calculado. A alternativa C está errada, pois raiz de 5 / 2 é um valor diferente do módulo obtido. A alternativa D está errada, pois raiz de 5 / 4 também não coincide com raiz de 5 / 3.
💡 Dica: Use propriedades do conjugado e equações para encontrar o módulo de z.
Alternativa por alternativa
CORRETA. Ao substituir z = x + yi e z̅ = x - yi na equação, separar as partes real e imaginária e resolver o sistema, obtém-se o módulo de z igual a √5/3.
Provavelmente errou o denominador ao calcular o módulo, trocando o 3 por 5 e chegando a raiz de 5 / 5, como se a soma dos quadrados fosse 1/5.
Provavelmente resolveu o sistema com valores incorretos para a ou b, como b = -1/2 ou a = 1, o que leva a um módulo de raiz de 5 / 2.
Provavelmente errou ao elevar as coordenadas ao quadrado, usando 4 como denominador comum em vez de 9, o que resulta em raiz de 5 / 4.
Raio-X da questão
número complexo módulo conjugado
diagnostico
números complexos básicos · operações com conjugados
Estude propriedades de números complexos e cálculo de módulo.
Confundir o conjugado com o número original ou esquecer a definição do módulo.
pensamento_critico
abstrato
Questões parecidas com resolução
- Se z é um número complexo tal que z + 1/z = 1, então, o módulo de z é igual a (UECE 2023)
- Os números complexos z1 = p + qi e z2 = m + ni são as raízes não reais da equação x³ - 1 = 0. O resultado numérico da…
- As soluções da equação z² = i, onde z é um número complexo e i² = –1, são: UNESP - 2010
- Se p e q são números distintos que satisfazem a equação z² – 2z + 2 = 0, então p² + q² é igual a (UECE 2026)
- Considere os números complexos z = 1 + v3 i e w = 2v3 - 2i. Encontre números reais a e b tais que z^2 + a z + b = 0…
- Em um plano munido do sistema usual de coordenadas cartesianas, identifica-se o par ordenado (x, y) com o número…
🔎 Procurar outra questão
Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog