MatemáticaUECEBNCC EM13MAT301Difícil⏱ medio

O coeficiente de x^(2n) no desenvolvimento de (1 + x)^2 . (x^2 + 2)^n, sendo n um número inteiro positivo, é…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT301

Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

O coeficiente de x^(2n) no desenvolvimento de (1 + x)^2 . (x^2 + 2)^n, sendo n um número inteiro positivo, é igual a (UECE 2023)

A) 1 + n.
B) 2 + 2n.
C) 3 + 3n.
D) 1 + 2n.

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

Desenvolva (1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2. O produto fica (1 + 2x + x^2) . (x^2 + 2)^n, e o grau máximo é 2n, pois (x^2 + 2)^n tem grau 2n. Passo 2: Pelo binômio de Newton, (x^2 + 2)^n = soma de C(n,k) . (x^2)^k . 2^(n-k), com k de 0 a n. Assim, (x^2 + 2)^n só tem potências pares de x, com coeficiente de x^(2k) igual a C(n,k) . 2^(n-k). Passo 3: Para obter x^(2n) no produto, há três combinações: 1 . (termo de x^(2n) de (x^2+2)^n); 2x . (termo de x^(2n-1)); e x^2 . (termo de x^(2n-2)). Passo 4: O termo de x^(2n) de (x^2+2)^n tem k = n, então o coeficiente é C(n,n) . 2^0 = 1. O termo de x^(2n-1) não existe, pois só há potências pares, logo o coeficiente é 0. O termo de x^(2n-2) tem k = n-1, então o coeficiente é C(n,n-1) . 2^1 = 2n. Passo 5: Somando as contribuições: 1 . 1 + 2 . 0 + 1 . 2n = 1 + 2n. Passo 6: Conferência com n = 1: (1 + x)^2 (x^2 + 2) = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x + 2, cujo coeficiente de x^2 é 3 = 1 + 2 . 1. Conclusão: a alternativa correta é D, 1 + 2n, que coincide com o gabarito oficial. A alternativa A está errada porque ignora o fator 2^(n-(n-1)) = 2 no termo de x^(2n-2). A alternativa B está errada porque atribui peso 2 ao termo de x^(2n), quando o coeficiente correto é 1. A alternativa C está errada porque soma coeficientes de expoentes diferentes como se contribuíssem igualmente para x^(2n).

💡 Dica: Use o binômio de Newton e identifique o termo de grau 2n.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Procedimental

Calculou corretamente o termo de x^(2n-2) como C(n,n-1) = n, mas esqueceu o fator 2^(n-k) = 2 de (x^2+2)^n, ou seja, usou só o coeficiente binomial.

B Erradaerro: Procedimental

Atribuiu peso 2 ao termo de x^(2n) de (x^2+2)^n, quando seu coeficiente é C(n,n) . 2^0 = 1, e somou esse erro ao termo 2n.

C Erradaerro: Conceitual

Misturou os coeficientes 1 e 2 do (1 + x)^2 como se 2x e x^2 contribuíssem igualmente para x^(2n), ignorando que o termo 2x exige x^(2n-1), que não existe em (x^2+2)^n, e aplicou um fator 3 sem justificativa.

D Correta

CORRETA. O coeficiente é 1 + 2n porque, ao expandir (1 + x)^2 e (x^2 + 2)^n, os termos que resultam em x^(2n) são obtidos somando os coeficientes correspondentes, levando a essa expressão.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 consolidacao

🎯 Conceito central

coeficiente binomial, desenvolvimento binomial

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

binômio de Newton · coeficiente binomial

📚 Reveja

Estude o teorema do binômio e combinação de termos em produtos algébricos.

⚠️ Erro mais comum

Confundir os expoentes ao combinar os termos ou esquecer de aplicar o binômio de Newton corretamente.

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

abstrato

Questões parecidas com resolução

🔎 Procurar outra questão

Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.

Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog