Para n e k inteiros positivos com n > k, defina (n k) = n! / (k!(n-k)!), onde n! = 1.2.3....n. Se n e k…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
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Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Para n e k inteiros positivos com n > k, defina (n k) = n! / (k!(n-k)!), onde n! = 1.2.3....n. Se n e k satisfazem a relação (n k+1) = 3 (n k), então tem-se (UECE 2012)
- A) n = 4k + 1.
- B) n = 4k + 2.
- C) n = 4k + 3.
- D) n = 4k + 4.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Escreva a razão entre dois coeficientes binomiais consecutivos com o mesmo n: (n k+1)/(n k) = [n!/((k+1)!(n-k-1)!)] / [n!/(k!(n-k)!)]. Cancelando n! e simplificando (k+1)! = (k+1)·k! e (n-k)! = (n-k)·(n-k-1)!, obtém-se (n k+1)/(n k) = (n-k)/(k+1).
- A relação do enunciado é (n k+1) = 3(n k). Dividindo os dois lados por (n k), que é positivo pois n > k, resulta (n-k)/(k+1) = 3.
- Multiplique os dois lados por (k+1): n-k = 3(k+1) = 3k+3.
- Some k aos dois lados: n = 4k+3. Essa é a alternativa C, que coincide com o gabarito oficial.
- Confira com um exemplo: para k = 1 e n = 7, temos (7 2) = 21 e (7 1) = 7, e 21 = 3·7. A relação vale, o que confirma n = 4k+3.
- Por que as outras estão erradas: A) n = 4k+1 daria n-k = 3k+1, razão (3k+1)/(k+1), que não é igual a 3 para todo k. B) n = 4k+2 daria n-k = 3k+2, razão (3k+2)/(k+1), que também não é igual a 3. D) n = 4k+4 daria n-k = 3k+4, razão (3k+4)/(k+1), que igualmente não satisfaz a relação.
- Conclusão: a relação dada implica n = 4k+3, portanto a resposta correta é a alternativa C, em concordância com o gabarito oficial.
💡 Dica: Use a definicao do coeficiente binomial e simplifique a relacao dada.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente obteve n-k = 3k+1 ao subtrair mal o índice do coeficiente, usando (n-k-1) = 3k em vez de (n-k) = 3k+3, ou seja, esqueceu de somar o 1 do índice k+1 ao passar para a forma da razão.
O aluno provavelmente usou a razão (n-k+1)/(k+1) em vez de (n-k)/(k+1), confundindo o índice do numerador ao calcular a razão entre C(n,k+1) e C(n,k), o que leva a n-k+1 = 3k+3 e, portanto, n = 4k+2.
CORRETA. Ao aplicar a definição de combinação e simplificar a relação (n k+1) = 3 (n k), obtém-se n = 4k + 3.
O aluno provavelmente escreveu n-k = 3(k+1) como 3k+4, cometendo um erro na distributiva (somando 1 indevidamente ao resultado), e assim chegou a n = 4k+4.
Raio-X da questão
coeficiente binomial e relacoes
diagnostico
fatorial e propriedades basicas
estude definicao e propriedades do coeficiente binomial
Confundir a definicao do coeficiente binomial ou errar a simplificacao da relacao dada.
pensamento_critico
abstrato
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