Seja a equação quadrática nx2 – x + 1 = 0, em que n é uma constante real, com duas raízes reais positivas e…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Seja a equação quadrática nx2 – x + 1 = 0, em que n é uma constante real, com duas raízes reais positivas e distintas. Assim, os valores de n que satisfazem essas condições são tais que: UNESP - 2024
- A) 0 < n < 1/4
- B) n < 1/4
- C) 1/4 < n < 1/4
- D) n > 1/4
- E) –1/4 < n < 0
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique os coeficientes da equação n x^2 - x + 1 = 0, com a = n, b = -1 e c = 1. Para ser uma equação do segundo grau, n deve ser diferente de 0. Passo 2: Para que existam duas raízes reais e distintas, o discriminante deve ser positivo: Delta = b^2 - 4ac = 1 - 4n > 0, o que dá n < 1/4. Passo 3: Pelas relações de Girard, a soma das raízes é -b/a = 1/n e o produto é c/a = 1/n. Para que as duas raízes sejam positivas, a soma e o produto devem ser ambos positivos, logo 1/n > 0, ou seja, n > 0. Passo 4: Juntando as condições n < 1/4 e n > 0, obtemos 0 < n < 1/4, que é a alternativa A, em acordo com o gabarito oficial. Passo 5: A alternativa B está errada porque admite valores negativos de n, para os quais o produto das raízes é negativo e uma delas seria negativa. A alternativa C está errada porque o intervalo 1/4 < n < 1/4 é vazio, não existe nenhum número que satisfaça essa desigualdade. A alternativa D está errada porque n > 1/4 torna o discriminante negativo, e então não há raízes reais. A alternativa E está errada porque inclui valores negativos de n, que dão produto negativo e, portanto, raízes de sinais opostos.
💡 Dica: Analise o discriminante e as condições para raízes positivas e distintas.
Alternativa por alternativa
Para que a equação nx² – x + 1 = 0 tenha duas raízes reais, positivas e distintas, precisamos: 1) O discriminante deve ser positivo: ? = (–1)² – 4·n·1 > 0 ? 1 – 4n > 0 ? n < 1/4. 2) As duas raízes de uma quadrática ax² + bx + c = 0, com a > 0, são positivas se: (i) a, c > 0 (ok, n > 0) e (ii) a soma das raízes (–b/a) > 0 e o produto das raízes (c/a) > 0. Soma das raízes: –(–1)/n = 1/n > 0, logo n > 0. Produto das raízes: 1/n > 0, então n > 0. Portanto, n deve ser ao mesmo tempo menor que 1/4 (para ter ? > 0) e maior que 0 (para as duas raízes positivas). Assim, 0 < n < 1/4.
O aluno aplicou apenas a condição do discriminante e esqueceu que raízes positivas exigem soma e produto positivos, o que impõe n > 0.
Por que engana: Confundir condições para raízes reais com raízes positivas e distintas, ou erro no cálculo do discriminante.
O aluno escreveu uma desigualdade com limites iguais, em que o intervalo fica vazio; provavelmente houve erro de digitação ou de sinal ao montar as condições.
O aluno inverteu a condição do discriminante, achando que 1 - 4n > 0 significa n > 1/4, quando na verdade isso dá n < 1/4.
O aluno aceitou valores negativos de n, provavelmente por confundir o sinal do produto 1/n ou por considerar apenas que o discriminante é positivo para n negativo, sem verificar o sinal das raízes.
Raio-X da questão
equação quadrática raízes reais
avaliacao
equação quadrática básica · discriminante de equação quadrática
estude discriminante e sinais das raízes em equações quadráticas
Confundir condições para raízes reais com raízes positivas e distintas, ou erro no cálculo do discriminante.
pensamento_critico
abstrato
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